2012-2013学年江苏省淮安市清江附中高三（上）第二次调研数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}，则（∁_UA）∩B=    ．

2. 难度：中等

若复数z满足z=（3-z）i（i是虚数单位），则复数z的虚部是    ．

3. 难度：中等

4张卡片上分别写有数字0，1，2，3，从这4张卡片中一次随机抽取不同的2张，则取出的卡片上的数之差的绝对值等于2的概率为    ．

4. 难度：中等

已知≤θ≤π，且sin（θ-）=，则cosθ=    ．

5. 难度：中等

已知向量=（-3，2），=（-1，0），且向量与垂直，则实数λ的值为    ．

6. 难度：中等

函数y=x-2lnx的单调减区间为    ．

7. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（-2，0）时，f（x）=2^x，则f（2012）-f（2013）=    ．

8. 难度：中等

若数{a_n}中，a_n=，其前n项的和是，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为    ．

9. 难度：中等

下列四个命题中，真命题的序号是    ．
①∃m∈R，使f（x）=（m-1）是幂函数；
②“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真；
③∀a＞0，函数f（x）=ln²x+lnx-a有零点；
④命题“∀x∈R，都有x²-3x-2≥0”的否定是“∃x∈R，使得x²-3x-2≤0”

10. 难度：中等

已知B为双曲线（a＞0，b＞0）的左准线与x轴的交点，点A（0，b），若满足=2的点P在双曲线上，则该双曲线的离心率为    ．

11. 难度：中等

已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=-x+b都不是曲线y=x³-3ax的切线，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

当且仅当a＜r＜b时，在圆x²+y²=r²（r＞0）上恰好有两点到直线2x+y+5=0的距离为1，则a+b的值为    ．

13. 难度：中等

设实数a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，3a]，都有y∈[a，a²]满足方程log_ax+log_ay=c，这时，实数a的取值的集合为    ．

14. 难度：中等

已知关于x的实系数一元二次不等式ax²+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，则M=的最小值是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

设函数f（x）=sin（2x+）+cos²x+sinx•cosx．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期．
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=，求sinA．

16. 难度：中等

如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA．求证：
（1）平面AMD∥平面BPC；
（2）平面PMD⊥平面PBD．

17. 难度：中等

已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）

18. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，n=1，2，3，…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=n （3-b_n），求数列{c_n}的前n项和为T_n．

19. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，直线l：x=-4为准线的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若M是直线l上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（Ⅲ）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，且，试求此时弦PQ的长．

20. 难度：中等

已知．
（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=x²-2x+k有实数解，求实数k的取值范围；
（3）当n∈N*，n≥2时，求证：．

21. 难度：中等

已知矩阵A=，向量=[]．求向量，使得A²=．

22. 难度：中等

（极坐标与参数方程）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标．

23. 难度：中等

用数学归纳法证明：+++…+＞（n＞1，且n∈N^*）．

24. 难度：中等

理科附加题：
已知展开式的各项依次记为a₁（x），a₂（x），a₃（x），…a_n（x），a_n+1（x）．
设F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x），…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）．
（Ⅰ）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数依次成等差数列，求n的值；
（Ⅱ）求证：对任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）．