2012-2013学年湖南省湘潭一中、石门一中、澧县一中高三（上）11月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A，B为全集U的真子集，若A∩B={4}，（∁_UA）∩B={2，5}，则集合B等于（ ）
A．{2．，3，4}
B．{2，4，5}
C．{3，4，5}
D．{1，3，4}

2. 难度：中等

若f（x）=3ax+1-2a在（-1，1）上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．a＜-1

3. 难度：中等

若函数f（x）=3sin（ωx+φ）对∀x∈R均有f（2+x）=f（2-x），则f（2）的值为（ ）
A．3或0
B．-3或0
C．0
D．-3或3

4. 难度：中等

设A，B，C是△ABC的三个内角，且满足：，则sin（B+C）等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设A={1，2，3}，B={6，7，8}，如图给出的是从集合A到集合B的对应，其中不是从集合A到集合B的映射的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-9n，第k项满足5＜a_k＜8，则k等于（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6

7. 难度：中等

已知定义在（-1，1）上的f（x）满足：对∀x，y∈（-1，1），均有f（x）+f（y）=，且x＞0时，f（x）＞0，则函数y=f（x）在定义域上的奇偶性与增减性为（ ）
A．奇函数且增函数
B．偶函数且增函数
C．奇函数且减函数
D．偶函数且减函数

8. 难度：中等

已知定义域为R的函数y=f（x），则下列命题：
①若f（x-1）=f（1-x）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1的对称；
②若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，则函数y=f（x）的图象关于（1，0）点对称；
③函数y=f（x-1）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于y轴对称；
④函数y=-f（x-1）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于原点对称；
⑤若f（1+x）+f（x-1）=0恒成立，则函数y=f（x）以4为周期．
其中真命题的有（ ）
A．①④
B．②③
C．②⑤
D．③⑤

二、填空题

9. 难度：中等

已知，则tanα=    ．

10. 难度：中等

=    ．

11. 难度：中等

记函数f（x）=max{p（x），q（x）}，若p（x）=|x|，q（x）=-x²+2，则函数f（x）的最小值为    ．

12. 难度：中等

如图：在三角形ABC中，点D为线段AC上的一点，点E为线段BC的中点，连接AE交BD于P点，若，记则实数λ的值为    ．

13. 难度：中等

函数f（x）定义域为[0，+∞），当x≥0时可导，又x≥0时，不等式f（x）+f′（x）＞0恒成立，且满足f（0）=1，则不等式f（x）＞e^-x的解集为    ．

14. 难度：中等

设抛物线x²=4y的焦点为F，经过点P（1，4）的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，
则||+||=    ．

15. 难度：中等

对于实数x∈[0，π]，定义符号[x]表示不超过x的最大整数，则方程的解集是    ；又方程[2sinx]=[x]的解集是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若 sinα+f（α）=的值．

17. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，S₂=b₂•q．
（1）求数列a_n与b_n的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

如图，平面四边形ABCD中，AB=13，AC=10，AD=5，，．
（1）求cos∠BAD；
（2）设的值．

19. 难度：中等

2012年中秋、国庆长假期间，由于国家实行6座及以下小型车辆高速公路免费政策，导致在长假期间高速公路出现拥堵现象．长假过后，据有关数据显示，某高速收费路口从上午6点到中午12点，车辆通过该收费站的用时y（分钟）与车辆到达该收费站的时刻t之间的函数关系式可近似地用以下函数给出：
y=
求从上午6点到中午12点，通过该收费站用时最多的时刻．

20. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，以AB弦为直径的圆过坐标原点O，试探讨点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=和图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（1）求实数b，c的值；
（2）求函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值；
（3）若函数y=f（x）图象上存在两点P，Q，使得对任意给定的正实数a都满足△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上，求点P的横坐标的取值范围．