2012-2013学年重庆一中高三（上）11月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={x∈N⁺|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则C_U（A∪B）=（ ）
A．{1，4}
B．{1，5}
C．{2，4}
D．{2，5}

2. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₁+a₂=8，a₂+a₃=24，则a₃+a₄等于（ ）
A．40
B．62
C．72
D．84

3. 难度：中等

命题“∃x∈Z，使 x²+2x+m≤0”的否命题是（ ）
A．∃x∈Z，使 x²+2x+m＞0
B．∀x∈Z，都有 x²+2x+m＞0
C．∀x∈Z，都有 x²+2x+m≤0
D．不存在x∈Z，使 x²+2x+m＞0

4. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x），对任意x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有＜0，则（ ）
A．f（3）＜f（-2）＜f（1）
B．f（1）＜f（-2）＜f（3）
C．f（-2）＜f（1）＜f（3）
D．f（3）＜f（1）＜f（-2）

5. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=，则其前6项之和是（ ）
A．16
B．20
C．33
D．120

6. 难度：中等

已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log_a（x+b）的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知对任意实数x，都有|x+1|+|x+a|＞2，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜-1或a＞3
B．a＜-3或a＞1
C．-1＜a＜3
D．-3＜a＜1

8. 难度：中等

已知、是非零向量且满足（-2）⊥，（-2）⊥，则与的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设a，b，c，d∈R，若a，1，b成等比数列，且c，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．a+b≤2cd
B．a+b≥2cd
C．|a+b|≤2cd
D．|a+b|≥2cd

10. 难度：中等

已知正实数a，b满足a+b=1，则M=+的整数部分是（ ）
A．1或2
B．2
C．2或3
D．3

二、填空题

11. 难度：中等

数（i是虚数单位）的实部是    ．

12. 难度：中等

在约束条件：x+2y≤5，2x+y≤4，x≥0，y≥0下，z=x+4y的最大值是    ．

13. 难度：中等

已知cos（θ-）=，θ∈（，π），则cosθ=    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=x³-x²+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x²围成的图形的面积等于    ．

15. 难度：中等

已知等差数列{a_n}首项为a，公差为b，等比数列{b_n}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a₁＜b₁，b₂＜a₃，对于任意的n∈N^*，总存在m∈N^*，使得a_m+3=b_n成立，则a_n=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，它的前n项和为S_n，且a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记数列{}的前n项和为T_n求证：T_n＜．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-ax-2a²，函数g（x）=x-1
（1）若a=0，解不等式2f（x）≤|g（x）|；
（2）若a＞0，函数f（x）导函数是f′（x），解关于x的不等式＜0．

18. 难度：中等

设平面向量=（cosx，sinx），=（cosx+2，sinx），x∈R，
（1）若x∈（0，），证明：和不可能平行；
（2）若=（0，1），求函数f（x）=•（-2）的最大值，并求出相应的x值．

19. 难度：中等

如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S₁和S₂．
（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；
（2）求的最小值．

20. 难度：中等

设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，求证：．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x-ln（1+x），数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）；数列{b_n}满足b₁=，b_n+1≥（n+1）b_n，n∈N^*．求证：
（Ⅰ）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（Ⅱ）a_n+1＜
（Ⅲ）若a₁=，则当n≥2时，b_n＞a_n•n!．