2012-2013学年江西省赣州市十一县市高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题p：∃m∈R，3^m≤0，则命题p的否定是（ ）
A．不存在m∈R，使3^m＞0
B．∃m∈R，3^m＞0
C．∀m∈R，3^m≤0
D．∀m∈R，3^m＞0

2. 难度：中等

设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

如图是2012年某校元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（ ）

A．84，85
B．84，84
C．85，84
D．85，85

4. 难度：中等

已知x与y之间的一组数据：

x		1	2	3
y	1	3	5	7

则x与y的线性回归方程为必过点（ ）
A．（1，2）
B．（1.5，4）
C．（2，2）
D．（1.5，0）

5. 难度：中等

一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6（俗称骰子），将这个玩具向上拋掷一次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”（指向上一面的点数是奇数），事件B表示“向上的一面出现的点数不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则（ ）
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件

6. 难度：中等

已知，，若，则λ与μ的值分别为（ ）
A．-5，-2
B．5，2
C．
D．

7. 难度：中等

下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二位走的是男同学的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（ ）
A．720
B．360
C．240
D．120

9. 难度：中等

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦长为4，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

10. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点E是AB上一点，当二面角P-EC-D的平面角为时，AE=（ ）

A．1
B．
C．2-
D．2-

二、填空题

11. 难度：中等

从2007个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为    ．

12. 难度：中等

同时掷两枚骰子，所得的点数之和为6的概率是    ．

13. 难度：中等

给出下列命题：
（1）命题“若b²-4ac＜0，则方程ax²+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题
（2）命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题
（3）命题“若a＞b＞0，则＞＞0”的逆否命题
（4）“若m＞1，则mx²-2（m+1）x+（m-3）＞0的解集为R”的逆命题
其中真命题的序号为    ．

14. 难度：中等

阅读以下程序：INPUT  x
IF  x＜0THENy=x²-3x+5
ELSEy=（x-1）²
END  IF
PRINT  y
END
若输出y=9，则输入的x值应该是    ．

15. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，则异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：函数f（x）=log_（2-m）x在x∈（0，+∞）为减函数，命题q：函数g（x）=-（4-2m）^x在R上为减函数，若命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

为庆祝国庆，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的1000名学生中抽出60名学生，将其成绩（成绩均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如图的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的平均分和参加这次考试75分以上的人数．

18. 难度：中等

已知函数，且给定条件p：“”．
（1）求f（x）在给定条件p下的最大值及最小值；
（2）若又给条件q：“|f（x）-m|＜2“，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2ax+4b²，a，b∈R
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任取一个元素，求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率；
（2）若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．

20. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=AA₁=2，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角B-C₁D-C的正切值；
（3）设AB₁的中点为G，问：在矩形BCC₁B₁内是否存在点H，使得GH⊥平面BDC₁．若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；
（3）问是否存在斜率为2的直线m，使m被圆O截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点．若存在，写出直线m的方程；若不存在，说明理由．