2012-2013学年江西省吉安市白鹭洲中学高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④

2. 难度：中等

若直线x+ay+2=0和直线2x+3y+1=0互相垂直，则a的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

椭圆x²+my²=1的离心率为，则m的值为（ ）
A．2
B．
C．2或
D．或4

4. 难度：中等

抛物线x²=16y的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积是（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2

5. 难度：中等

圆x²+y²-4x-4y+6=0上的点到直线x+y-10=0的最大距离与最小距离之差等于（ ）
A．
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

已知点M是抛物线y²=2px（p＞0）上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上三种情况都有可能

7. 难度：中等

若直线mx-ny=4与⊙O：x²+y²=4没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．至多为1
B．2
C．1
D．0

8. 难度：中等

已知动点M的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（ ）
A．抛物线
B．双曲线
C．椭圆
D．以上都不对

9. 难度：中等

方程mx+ny²=0与mx²+ny²=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

双曲线的两个焦点为F₁，F₂，若P上其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．（1，+∞）

二、填空题

11. 难度：中等

一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是    ．

12. 难度：中等

已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为    ．

13. 难度：中等

已知椭圆的焦点为F₁、F₂，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°，则△PF₁F₂的面积是    ．

14. 难度：中等

直线y=x+3与曲线=1的公共点个数为    ．

15. 难度：中等

已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y²=8x相交于A、B，F为C的焦点．若|FA|=2|FB|，则k=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求此抛物线方程．

17. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F G、H分别是线段PC、PB、AD、AB的中点．
（1）求证：PA∥平面DEB
（2）求证：平面GHF∥平面DEB．

19. 难度：中等

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁过定点A （1，0）．
（Ⅰ）若l₁与圆C相切，求l₁的方程；
（Ⅱ）若l₁与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l₁的方程．

20. 难度：中等

已知两定点F₁（-，0），F₂（，0）满足条件|PF₂|-|PF₁|=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点．
（1）求k的取值范围；
（2）当时，求△AOB的面积．

21. 难度：中等

已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁+k₂为定值．