2012-2013学年湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中高三（上）11月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）
A．0
B．6
C．12
D．18

2. 难度：中等

若是纯虚数，则的值为（ ）
A．-7
B．
C．7
D．-7或

3. 难度：中等

已知命题p：，命题q：（x+a）（x-3）＜0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-3，-1]
B．[-3，-1]
C．（1，+∞）
D．（-∞，-3]

4. 难度：中等

下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[-2，]内，则输入的实数x的取值范围是（ ）

A．（-∞，-1]
B．[，]
C．（-∞，0）∪[，]
D．（-∞，-1]∪[，]

5. 难度：中等

已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，其三视图如图所示，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（ ）

A．9π
B．3π
C．
D．12π

7. 难度：中等

下列四个判断：
①10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；
②命题“若α＞β，则tanα＞tanβ”的逆命题为真命题；
③已知a＞0，b＞0，则由；
④若命题“∃x∈R，|x-a|+|x+1|≤2”是假命题，则命题“∃x∈R，|x-a|+|x+1|＞2”是真命题；
⑤设随机变量ξ～N（0，σ ²），且P（ξ＜-1）=，则P（0＜ξ＜1）=．
其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2 个
C．3 个
D．4个

8. 难度：中等

电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一个时刻都由四个数字组成，则一天中所显示的四个数字之和为19的不同时刻共有（ ）个．
A．35
B．36
C．37
D．非上述答案

9. 难度：中等

过双曲线的左焦点F（-c，0）（c＞0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交抛物线y²=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S_n，则S₁₀=（ ）
A．
B．2⁹-1
C．45
D．55

二、填空题

11. 难度：中等

已知a=2cos（x+）dx，则二项式（x²+）⁵的展开式中x的系数为    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，则点集Q={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为    ．

13. 难度：中等

设x，y∈（0，2]，已知xy=2，且6-2x-y≥a（2-x）（4-y）恒成立，那么实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设代数方程a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n个不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，则，比较两边x²的系数得a₁=    ；若已知展开式对x∈R，x≠0成立，则由于有无穷多个根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是，利用上述结论可得=    ．

15. 难度：中等

已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为    ．

16. 难度：中等

已知曲线C的参数方程为（θ为参数），则曲线C上的点到直线2x-y+2=0的距离的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知：函数f（x）=psinωx•cosωx-cos²ωx（p＞0，ω＞0）的最大值为，最小正周期为．
（1）求：p，ω的值，f（x）的解析式；
（2）若△ABC的三条边为a，b，c，满足a²=bc，a边所对的角为A．求：角A的取值范围及函数f（A）的值域．

18. 难度：中等

为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示．
（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数；

分组（单位：岁）	频数	频率
[20，25]	5	0.05
[25，30]	①	0.20
[30，35]	35	②
[35，40]	30	0.30
[40，45]	10	0.10
合计	100	1.00

（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

如图所示，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=．
（1）证明：平面ACD⊥平面ADE，
（2）令AC=x，V（x） 表示三棱锥A-CBE的体积，当V（x） 取得最大值时，求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

20. 难度：中等

已知集合A={x|x=-2n-1，n∈N^*}，B={x|x=-6n+3，n∈N^*}，设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若{a_n}的任一项a_n∈A∩B，首项a₁是A∩B中的最大数，且-750＜S₁₀＜-300．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，令T_n=24（b₂+b₄+b₆+…+b_2n），试比较T_n与的大小．

21. 难度：中等

若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y²=-12x的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；
（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|²+|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x-xlnx，g（x）=f（x）-xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）对任意的正实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明：（x₂-x₁）f′（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f′（x₁）；
（3）对任意的n∈N^*，且n≥2，证明：．