2012-2013学年四川省实验学校高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列各组几何体中全是多面体的一组是（ ）
A．三棱柱  四棱台  球      圆锥
B．三棱柱  四棱台  正方体  圆台
C．三棱柱  四棱台  正方体  六棱锥
D．圆锥   圆台    球      半球

2. 难度：中等

在空间直角坐标系O-xyz中，点M（-1，2，1）关于x轴对称的点M′坐标是（ ）
A．（-1，-2，-1）
B．（1，-2，1）
C．（-1，2，-1）
D．（1，-2，-1）

3. 难度：中等

给出下列命题中，其中是正确命题的有（ ）
①垂直于同一条直线的两条不同直线互相平行  ②垂直于同一条直线的两个不同平面互相平行
③垂直于同一个平面的两条不同直线互相平行  ④垂直于同一个平面的两个不同平面互相平行．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

4. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A．
B．
C．8-2π
D．

5. 难度：中等

过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ）
A．1：2：3
B．1：3：5
C．1：2：4
D．1：3：9

6. 难度：中等

设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①n∥α，α⊥β，则n⊥β；②若m⊥n，n⊥α，m⊥β，则α⊥β；③若n⊥α，α⊥β，m⊂β，则m∥n；④n⊥β，α⊥β，则n∥α，或n⊂α．其中真命题是（ ）
A．①④
B．②④
C．②③
D．③④

7. 难度：中等

设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：
①若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心
②若∠ABC=90°，H是斜边AC上的中点，则PA=PB=PC
③若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心
④若P到△ABC的三边的距离相等，则H为△ABC的内心
其中正确命题的是（ ）
A．①③④
B．②③④
C．①②③
D．①②③④

8. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C₁，这时异面直线AD与BC₁所成的角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

（文科做）已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA⊥底面ABC，SA=3，那么直线SB与平面SAC所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图，在正四棱锥P-ABCD中，若，则二面角P-BC-A等于（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知三条直线a，b，c两两互相垂直，P为空间一个定点，则在过点P的直线中，分别与a，b，c所成的角都相等的直线有（ ）
A．1条
B．3条
C．4条
D．无数条

13. 难度：中等

设正方体ABC-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为2，动点E，F在棱A₁B₁上，动点P、Q分别在棱AD、CD上，若EF=1，A₁E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z＞0），则下列结论中错误的是（ ）
A．EF∥平面DPQ
B．二面角P-EF-Q所成角的最大值为
C．三棱锥P-EFQ的体积与y的变化有关，与x、z的变化无关
D．异面直线EQ和AD₁所成角的大小与x、y的变化无关

二、填空题

14. 难度：中等

一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是这个长方体对角线的长是    ．

15. 难度：中等

在棱长为1的正方体AC₁中，M、N分别在棱A₁B，AC上，且，则MN和平面BB₁C₁C的位置关系是    ； （请填写“平行”，“相交”或“不确定”）

16. 难度：中等

已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λ，则λ=    ．

17. 难度：中等

（文）如图，该流程图输出的结果为    ．

18. 难度：中等

如图，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＞OB＞OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S₁，S₂，S₃，则S₁，S₂，S₃的大小关系为    ．

19. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；
③P在直线BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则M点的轨迹是过D₁点的直线，其中真命题的编号是    ．（写出所有真命题的编号）

三、解答题

20. 难度：中等

已知一几何体的三视图如图（甲）示，（三视图中已经给出各投影面顶点的标记）
（1）在已给出的一个面上（图乙），画出该几何体的直观图；
（2）设点F、H、G分别为AC，AD，DE的中点，
求证：FG∥平面ABE；
（3）求该几何体的全面积．

21. 难度：中等

如图，在底面边长为的正四棱柱A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若二面角C₁-BD-C的大小为60°，求异面直线BC₁与AC所成角的大小的余弦值．

22. 难度：中等

图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（Ⅰ）答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内用黑色中性笔画出其正视图和侧视图（注意虚线和实线的差别）；
（Ⅱ）求四棱锥B-CEPD的体积V_E-CEFD；
（Ⅲ）求平面PEB和DCB所夹锐二面角的余弦值．

23. 难度：中等

矩形ABCD与矩形ABEF有公共边AB，且平面ABCD⊥平面ABEF，如图，又FD=2，．
（1）证明AE⊥平面FCB．
（2）求异面直线BD与AE所成角的余弦值．
（3）若M是棱AB的中点，在线段FD上是否存在一点N，使得MN∥平面FCB？证明你的结论．

24. 难度：中等

已知正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的所有棱长均为2，G为AF的中点．
（Ⅰ）求证：F₁G∥平面BB₁E₁E；
（Ⅱ）求证：平面F₁AE⊥平面DEE₁D₁；
（Ⅲ）求异面直线EG与F₁A所成角的余弦值．

25. 难度：中等

如图所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：①；②a=1；③；④a=2；⑤a=4．
（1）当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可能取所给数据中的哪些值，请说明理由；
（2）在满足（1）的条件下，a取所给数据中的最大值时，求直线PQ与平面ADP所成角的正切值；
（3）记满足（1）的条件下的Q点为Q_n（n=1，2，3，…），若a取所给数据的最小值时，这样的点Q_n有几个，试求二面角Q_n-PA-Q_n+1的大小．