2012-2013学年山东省青岛市高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x²-7x+10＜0}，则C_R（A∩B）=（ ）
A．（-∞，3）∪（5，+∞）
B．（-∞，3）∪[5，+∞）
C．（-∞，3]∪[5，+∞）
D．（-∞，3]∪（5，+∞）

2. 难度：中等

在△ABC中，“A＞B”是“tanA＞tanB”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

给出下列三个结论：（1）若命题p为真命题，命题¬q为真命题，则命题“p∧q”为真命题；
（2）命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”；
（3）命题“∀x∈R，2^x＞0”的否定是“∃x∈R，2^x≤0”．
则以上结论正确的个数为（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为，n∈N^*，则实数a的值是（ ）
A．-3
B．3
C．-1
D．1

5. 难度：中等

已知非零向量、，满足，则函数（x∈R）是（ ）
A．既是奇函数又是偶函数
B．非奇非偶函数
C．奇函数
D．偶函数

6. 难度：中等

已知，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁₀=12，则a₅+a₆=（ ）
A．
B．12
C．6
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若函数f（x）=3ax-2a+1在（-1，1）上存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A．
B．a＜1
C．
D．或a＜-1

11. 难度：中等

已知函数f（n）=n²cos（nπ），且a_n=f（n）+f（n+1），则a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=（ ）
A．0
B．-100
C．100
D．10200

12. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：
甲：f（3）=1；
乙：函数f（x）在[-6，-2]上是增函数；
丙：函数f（x）关于直线x=4对称；
丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和为-8．
其中正确的是（ ）
A．甲，乙，丁
B．乙，丙
C．甲，乙，丙
D．甲，丁

二、填空题

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

已知函数，则f（1+log₂5）的值为    ．

15. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=3，S₉-S₆=12，则S₆=    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称函数f（x）为F-函数．给出下列函数：①f（x）=x²；②f（x）=；③f（x）=2^x；④f（x）=sin2x．其中是F-函数的序号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b²+c²）=3a²+2bc．
（Ⅰ）若，求tanC的大小；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积，且b＞c，求b，c．

18. 难度：中等

设{a_n}是公差大于零的等差数列，已知a₁=2，．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}是以函数y=4sin²πx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a_n-b_n}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，若关于x的方程h（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数为偶函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）记集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}，，判断λ与E的关系；
（Ⅲ）当x∈（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，求m，n的值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx的图象是曲线C，点是曲线C上的一系列点，曲线C在点A_n（a_n，f（a_n））处的切线与y轴交于点B_n（0，b_n），若数列{b_n}是公差为2的等差数列，且f（a₁）=3．
（1）分别求出数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）设O为坐标原点，S_n表示△A_nB_n的面积，求数列{S_n}的前n项和T_n．

22. 难度：中等

已知函数，当时，函数f（x）有极大值．
（Ⅰ）求实数b、c的值；
（Ⅱ）若存在x∈[-1，2]，使得f（x）≥3a-7成立，求实数a的取值范围．