2012-2013学年广东省六校教研协作体高三（上）11月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算（i是虚数单位）得（ ）
A．i
B．-i
C．1+i
D．1-i

2. 难度：中等

已知集合M={x∈N₊|1≤x＜4}，N={x∈N₊|1＜x≤4}，则（ ）
A．M⊆N
B．N⊆M
C．M∩N={2，3}
D．M∪N={1，4}

3. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₃=6，前三项和S₃=18，则公比q的值为（ ）
A．1
B．-
C．1或-
D．-1或-

4. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值是（ ）
A．0
B．10
C．15
D．20

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x=4，则输出y的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知圆C的圆心在射线y=2x（x≥0）上，且与x轴相切，被y轴所截得的弦长为2，则圆C的方程是（ ）
A．（x-2）²+（y-4）²=20
B．（x-2）²+（y-4）²=16
C．（x-1）²+（y-2）²=1
D．（x-1）²+（y-2）²=4

7. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，A₁A=AC=2，BC=1，AB=，则此三棱柱的侧视图的面积为（ ）

A．2
B．4
C．
D．2

8. 难度：中等

已知p：，q：x＞2，则p是q的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

9. 难度：中等

比较sin2013°，cos2013°，tan2013°的大小，正确的是（ ）
A．sin2013°＞cos2013°＞tan2013°
B．tan2013°＞sin2013°＞cos2013°
C．tan2013°＞cos2013°＞sin2013°
D．cos2013°＞sin2013°＞tan2013°

10. 难度：中等

如图，平面中两条直线l₁和l₂相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l₁和l₂的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；
②若p=0，q=1，则“距离坐标”为（0，1）的点有且仅有2个；
③若p=1，q=2，则“距离坐标”为（1，2）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

二、填空题

11. 难度：中等

函数y=的定义域为    ．

12. 难度：中等

已知向量||=1，||=2，||=，则与的夹角为    ．

13. 难度：中等

随机抽取某中学10位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如右图，这10位同学购书的平均费用是    元．

14. 难度：中等

 AB为圆O的直径，AC切圆O于点A，且AC=2cm，过C的割线CMN交AB的延长线于D，CM=MN=ND．则AD的长等于    cm．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
已知直线l方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=1，则圆C上的点到直线l的距离最小值是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx+cos²x-sin²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C对应的三边为a，b，c，若f（A）=1，a=2，b=4，求c的值及△ABC的面积．

17. 难度：中等

衡阳市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为．

	优秀	非优秀	合计
甲班	10
乙班		30
合计			110

（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．
参考公式与临界值表：．

P（K^2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

18. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，PA=AC=BC=2，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，D、E分别是PC、PB的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2 ）求证：AD⊥平面PBC；
（3）求四棱锥A-BCDE的体积．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足3S_n=4a_n-8．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，若T_n是数列{b_n}的前n项和，求数列{}的前n项和．

20. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0），离心率为的椭圆经过点（，1）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l₁，l₂分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-；
（I）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（II）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（III）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．