2012-2013学年浙江省重点中学联谊学校高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＜3}，B={1，2，3，4}则（∁_RA）∩B=（ ）
A．{4}
B．{3，4}
C．{2，3，4}
D．{1，2，3，4}

2. 难度：中等

设向量=（，sinα），=（cosα，），且∥，，则锐角α为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°

3. 难度：中等

设，是单位向量，则“•=1”是“=”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

设y=（a-1）^x与（a＞1且a≠2）具有不同的单调性，则与的大小关系是（ ）
A．M＜N
B．M=N
C．M＞N
D．M≤N

5. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若，则=（ ）
A．2
B．
C．
D．3

6. 难度：中等

如图是函数Q（x）的图象的一部分，设函数f（x）=sinx，g （ x ）=，则Q（x）是（ ）

A．
B．f（x）g（x）
C．f（x）-g（x）
D．f（x）+g（x）

7. 难度：中等

为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

8. 难度：中等

从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（ ）

A．2097
B．2111
C．2012
D．2090

9. 难度：中等

函数在（0，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（1，+∞）

10. 难度：中等

已知函数函数，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知，则tanα=    ．

12. 难度：中等

已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=    ．

13. 难度：中等

等差数列{a_n}中，S_n是前n项和，a₁=-2010，，则S₂₀₁₃的值为    ．

14. 难度：中等

锐角三角形ABC中，若∠C=2∠B，则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

等比数列{a_n}的公比为q，其前n项积为T_n，并且满足条件，给出下列结论：①0＜q＜1；②a₉₉a₁₀₁-1＜0；③T₁₀₀的值是T_n中最大的；④使T_n＞1成立的最大自然数n等于198．其中正确的结论是    ．

17. 难度：中等

已知O为△ABC的外心，||=16，||=10，若，且32x+25y=25，则||=    •

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且4cosC．
（1）若tanA=2tanB，求sin（A-B）的值；
（2）若3ab=25-c²，求△ABC面积的最大值．

19. 难度：中等

已知=（cos，sin），，且
（I）求的最值；
（II）是否存在k的值使？

20. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1，等差数列{b_n}满足b₃=3，b₅=9，（1）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^*，恒成立，求实数k的取值范围．

21. 难度：中等

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数；．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若m＞0，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求证：f（x）≥g（x）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的值；
（3）设F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有两个极值点x₁、x₂（x₁＜x₂）；求实数m的取值范围，并证明：．