2012-2013学年北京39中高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（x-）（x∈R），下面结论错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）在区间[0，]上是增函数
C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称
D．函数f（x）是奇函数

2. 难度：中等

已知点A（-1，1），点B（2，y），向量=（1，2），若，则实数y的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

3. 难度：中等

下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是（ ）
A．y=sin2
B．y=2|cosx|
C．y=-tan
D．

4. 难度：中等

在△ABC中，如果，B=30°，那么角A等于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°

5. 难度：中等

若a、b是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是（ ）
A．a⊂α，b⊂β，α∥β
B．a∥α，b⊂α
C．a⊥α，b⊥α
D．a⊥α，b⊂α

6. 难度：中等

已知m、n为两条不同直线，α、β为两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．m∥n，m⊥α⇒n⊥α
B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
C．
D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β

7. 难度：中等

圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（ ）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．顶角为30°的等腰三角形
D．其他等腰三角形

8. 难度：中等

抛物线y²=-ax的准线方程为x=-2，则a的值为（ ）
A．4
B．-4
C．8
D．-8

9. 难度：中等

若直线通过点M（cosα，sinα），则（ ）
A．a²+b²≤1
B．a²+b²≥1
C．
D．

10. 难度：中等

已知双曲线的左顶点为A₁，右焦点为F₂，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（ ）
A．-2
B．
C．1
D．0

二、填空题

11. 难度：中等

已知角α的终边过点（-1，1），则sinα的值是    ．

12. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知，则cosA=    ，a=    ．

13. 难度：中等

椭圆的焦点为F₁，F₂，点P在椭圆上，若|PF₁|=4，则∠F₁PF₂的大小为    ，△F₁PF₂的面积为    ．

14. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为    ．

15. 难度：中等

2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于    ．

16. 难度：中等

如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∠ABC=∠BCD=90°，AB=a，BC=b，CD=c，且a²+b²+c²=1，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C所对边分别是．
（1）求cos（A+C）+sin2B的值；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

18. 难度：中等

已知向量=（sin x，cos x），=（sin x，sin x），=（-1，0）．
（1）若x=，求向量与的夹角θ；
（2）若x∈[，]，求函数f（x）=•的最值；
（3）函数f（x）的图象可以由函数y=sin 2x （x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

19. 难度：中等

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AA₁=4，，M，N分别是棱CC₁，AB中点．
（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB₁；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-AMN的体积．

20. 难度：中等

如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M、N分别是BC、PA的中点，且PA=AB=2
（1）证明：平面PBC⊥平面AMN；
（2）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

在直角坐标系xOy中
（1）以原点为圆心的圆O与直线相切．求圆O的方程；
（2）从点A（4，4）引圆的切线，切点为B，求切线长|AB|的值；
（3）P（x，y）是圆O上任意一点，求 x-2y的取值范围．

22. 难度：中等

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件．记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|x≤4，y≥0，3x-4y≥0}，则
①点集P={（x，y）|x=x₁+3，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}所表示的区域的面积为______；
②点集Q={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为______．