2012-2013学年山东省青岛市高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．{2}
B．{3}
C．{1，2，4}
D．{1，4}

2. 难度：中等

设a，b∈R，则“a＞b”是“a³＞b³”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．不充分也不必要条件

3. 难度：中等

给出下列三个结论：（1）若命题p为真命题，命题¬q为真命题，则命题“p∧q”为真命题；
（2）命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”；
（3）命题“∀x∈R，2^x＞0”的否定是“∃x∈R，2^x≤0”．
则以上结论正确的个数为（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为，n∈N^*，则实数a的值是（ ）
A．-3
B．3
C．-1
D．1

5. 难度：中等

已知非零向量、，满足，则函数（x∈R）是（ ）
A．既是奇函数又是偶函数
B．非奇非偶函数
C．奇函数
D．偶函数

6. 难度：中等

已知，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁₀=12，则a₅+a₆=（ ）
A．
B．12
C．6
D．

8. 难度：中等

如果实数x、y满足条件，那么2x-y的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．-2
D．-3

9. 难度：中等

已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若函数f（x）=3ax-2a+1在（-1，1）上存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A．
B．a＜1
C．
D．或a＜-1

11. 难度：中等

已知函数f（n）=n²cos（nπ），且a_n=f（n），则a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=（ ）
A．0
B．100
C．5050
D．10200

12. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：
甲：f（3）=1；
乙：函数f（x）在[-6，-2]上是增函数；
丙：函数f（x）关于直线x=4对称；
丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和为-8．
其中正确的是（ ）
A．甲，乙，丁
B．乙，丙
C．甲，乙，丙
D．甲，丁

二、填空题

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

已知函数，则f[f（-2）]=    ．

15. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=3，S₉-S₆=12，则S₆=    ．

16. 难度：中等

已知的最小值是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b²+c²）=3a²+2bc．
（Ⅰ）若，求tanC的大小；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积，且b＞c，求b，c．

18. 难度：中等

设{a_n}是公差大于零的等差数列，已知a₁=2，．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}是以函数y=4sin²πx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a_n-b_n}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

已知向量=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx），=（，2cosωx），函数f（x）=（x∈R）的图象关于直线对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，求y=h（x）在上的取值范围．

20. 难度：中等

某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元（m为常数，且2≤m≤3），设每个水杯的出厂价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，水杯的日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．
（Ⅰ）求该工厂的日利润y（元）与每个水杯的出厂价x（元）的函数关系式；
（Ⅱ）当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值．

21. 难度：中等

已知函数，x∈R，a∈R．
（Ⅰ）若f′（0）=-2，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，2）上单调递增，求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数 f（x）=3x²-6x-5．
（Ⅰ）求不等式 f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜x²-（2a+6）x+a在x∈[1，3]上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-2x²+mx+5-6m（m∈R），记区间D=（1-m，m+15），若不等式g（x）＜0的解集为M，且D∩M=∅，求实数m的取值范围．