2012-2013学年安徽省合肥168中、屯溪一中高三（上）12月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z₁=3+i，z₂=1-i，则复数的虚部为（ ）
A．2
B．-2i
C．-2
D．2i

2. 难度：中等

设A、B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知，则A×B等于（ ）
A．[0，1）∪（2，+∞）
B．[0，1]∪（2，+∞）
C．[0，1]
D．[0，2]

3. 难度：中等

设（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

4. 难度：中等

在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z的值为（ ）

2		4
1		2
		x
			y
				z

A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．8
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若函数f（x）=min{3+logx，log₂x}，其中min{p，q}表示p，q两者中的较小者，则f（x）＜2的解集为（ ）
A．.（0，4）
B．.（0，+∞）
C．.（0，4）∪（4，+∞）
D．（，+∞）

7. 难度：中等

已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

8. 难度：中等

已知，且0＜|m|＜1，0＜|n|＜1，mn＜0，则使不等式f（m）+f（n）＞0成立的m和n还应满足的条件为（ ）
A．m＞n
B．m＜n
C．m+n＞0
D．m+n＜0

9. 难度：中等

函数的图象可能是下列图象中的（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③．图③中直线AM与x轴交于点N（n，0），设f（m）=n．
给出下列命题：
①f（）=0；
②f（x）是偶函数；
③f（x）在定义域上单调递增；
④f（x）的图象关于点（，0）对称
则下列命题的正确的是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①④

二、填空题

11. 难度：中等

已知tan（α+β）=3，tan（α-β）=5，则tan2α=    ．

12. 难度：中等

若变量x、y满足，若2x-y的最大值为-1，则a=    ．

13. 难度：中等

若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知x，y∈Z，n∈N^*，设f（n）是不等式组，表示的平面区域内可行解的个数，归纳推理f（n）=    ．

15. 难度：中等

如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数f（x）=mx²-mx-1
（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．
（2）若对一切实数m∈[-2，2]，f（x）＜-m+5恒成立，求x的取值范围．

17. 难度：中等

已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=6，向量=（2sinc，-），=（cos2c，-1）且∥．
（1）求锐角C的大小；
（2）求△ABC的面积S_△ABC的取值范围．

18. 难度：中等

在右图所示的多面体中，下部ABCD-A′B′C′D′为正方体，点P在DD′的延长线上，且PD′=D′D，M、N分别为△PA′B′和△PB′C′的重心．
（1）已知R为棱PD上任意一点，求证：MN∥平面RAC；
（2）求二面角M-BC-D的正切值大小．

19. 难度：中等

设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=（x＞0），数列{a_n}满足：a₁=，a_n+1=g（a_n）（n∈N）．
（Ⅰ）当x＞-1时，比较x与f（x）的大小；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求证：a₁+a₂+…+a_n＞ln．

20. 难度：中等

已知函数．
（I）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数，若在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．

21. 难度：中等

已知点列B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n∈N）顺次为一次函数y=x图象上的点，点列A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）、…、A_n（x_n，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点A_n、B_n、A_n+1构成以
B_n为顶点的等腰三角形．
（1）求{y_n}的通项公式，且证明{y_n}是等差数列；
（2）试判断x_n+2-x_n是否为同一常数（不必证明），并求出数列{x_n}的通项公式；
（3）在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．