2012-2013学年安徽省示范高中高三（上）摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，复数的虚部为（ ）
A．-2
B．2
C．-2i
D．2i

2. 难度：中等

已知集合，B={y|y=lgx，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．
B．{10}
C．{1}
D．∅

3. 难度：中等

已知，向量与的夹角为，，则的模等于（ ）
A．
B．
C．2
D．3

4. 难度：中等

样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

函数f（x）=的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图所示程序框图的输出的所有值都在函数（ ）

A．y=x+1的图象上
B．y=2x的图象上
C．y=2^x的图象上
D．y=2^x-1的图象上

7. 难度：中等

“1＜a＜2”是“对任意的正数x，2x+≥2”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且S₃=S₈，S₇=S_k，则k的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

9. 难度：中等

若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=x²，值域为{1，4}的“同族函数”共有（ ）
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个

10. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的定义均为[a，b]，若g（a）•g（b）＜0，则下列判断错误的是（ ）
A．f（x）在[a，b]必有最小值
B．g（x）在[a，b]必有最大值
C．f（x）在[a，b]必有极值
D．g（x）在[a，b]必有极值

二、填空题

11. 难度：中等

从集合{-1，1，2，3}中随机选取一个数记为m，从集合{-1，1，2}中随机选取一个数记为n，则方程=1表示双曲线的概率为    ．

12. 难度：中等

若实数x，y满足，则x+2y的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知（x²+）ⁿ的展开式的各系数和为32，则展开式中x的系数为    ．

14. 难度：中等

某几何体的三视图（单位：m）如图所示，则其表面积为    ．

15. 难度：中等

设圆x²+y²=2的切线l与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点A、B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．
（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（I）从每班抽取的同学中各抽取一人，求至少有一人及格的概率；
（II）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．

18. 难度：中等

递增的等比数列{a_n}的前n项和为Sn，且S₂=6，S₄=30
（I）求数列{a_n}的通项公式．
（II）若b_n=a_n，数列{b_n}的前n项和为Tn，求T_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的最小正整数n的值．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F分别是AB，BC的中点N在轴上．
（I）求证：PF⊥FD；
（II）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；
（III）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

20. 难度：中等

设椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足． 
（I）求椭圆C的离心率；
（II）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=a（lnx-x）（a∈R）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数g（x）=在区间（2，3）上总存在极值，求实数m的取值范围．