2012-2013学年江苏省淮安市盱眙县新马高级中学高三（上）11月迎第一次市调研数学试卷（四）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若全集U=R，集合M={x|x²-x≥0}，则集合∁_UM=    ．

2. 难度：中等

命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是    （填“真”或“假”之一）命题．

3. 难度：中等

已知，则实数k的值是    ．

4. 难度：中等

已知tanα=2，则的值为    ．

5. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，且公差d≠0，又a₁，a₃，a₉依次成等比数列，则的值为    ．

6. 难度：中等

从集合A={-1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={-2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为    ．

7. 难度：中等

某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值为    ．

8. 难度：中等

已知圆（x-2）²+y²=1经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e=    ．

9. 难度：中等

已知F是双曲线-的左焦点，B₁B₂是双曲线的虚轴，M是OB₁的中点，过F，M的直线交双曲线C于点A，且，则双曲线C的离心率是    ．

10. 难度：中等

若正实数a，b，c满足：3a-2b+c=0，则的最大值为    ．

11. 难度：中等

已知实数x，y满足不等式组若目标函数z=y-ax（a∈R）取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

设a∈R，若x＞0时均有[（a-1）x-1]（x²-ax-1）≥0，则a=    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x³+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足g（x）≠0，f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），f（x）=a^x•g（x），．令，则使数列{a_n}的前n项和S_n超过的最小自然数n的值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=1，，且a＞b，试求角B和角C．

16. 难度：中等

如图，四棱锥E-ABCD中，EA=EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD．
（Ⅰ）求证：AB⊥ED；
（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出；若不存在，说明理由．

17. 难度：中等

已知函数g（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求实数k的取值范围．

18. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M．问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点？
（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值．

19. 难度：中等

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线f（x）=1-ax²（a＞0）的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P（t，f（t））．
（1）将△OMN（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数S（t）；
（2）若在t=处，S（t）取得最小值，求此时a的值及S（t）的最小值．

20. 难度：中等

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{a_n²}的前n项和为T_n，满足a₁=1，，其中p为常数．
（1）求p的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）①是否存在正整数n，m，k（n＜m＜k），使得a_n，a_m，a_k成等差数列？若存在，指出n，m，k的关系；若不存在，请说明理由；
②若对于任意的正整数n，都有a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，求出实数x，y的值．

21. 难度：中等

（矩阵与变换）
已知矩阵，若矩阵A把直线l：x+2y-1=0变为直线l'，求直线l'的方程．

22. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程）：
设点P在曲线ρsinθ=2上，点Q在曲线ρ=-2cosθ上，求|PQ|的最小值．

23. 难度：中等

甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为（0＜a＜1），三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求实数a的取值范围．

24. 难度：中等

已知，n∈N^*．
（1）若g（x）=f₄（x）+2f₅（x）+3f₆（x），求g（x）中含x²项的系数；
（2）若p_n是f_n（x）展开式中所有无理项的系数和，数列{a_n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p_n（a₁a₂…a_n+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）．