2012-2013学年广东省湛江师范附中高三（上）9月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|，B={y|y=2x²，x∈R}，则A∩B=（ ）
A．{x|-1≤x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1}
D．φ

2. 难度：中等

已知函数则=（ ）
A．
B．e
C．
D．-e

3. 难度：中等

已知双曲线-=1（m＞0）的右焦点与抛物线y²=12x的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ ）
A．6
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若整数x，y满足，则2x+y的最大值是（ ）
A．1
B．5
C．2
D．3

5. 难度：中等

函数y=的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

下列命题：
（1）函数f（x）=cos⁴x-sin⁴x的最小正周期是π；
（2）已知向量，，，则的充要条件是λ=-1；
（3）若，则a=e．
其中所有的真命题是（ ）
A．（3）
B．（1）（2）
C．（2）（3）
D．（1）（3）

7. 难度：中等

已知α，β表示不同的平面，m，n，l表示不同的直线，给出以下命题：
①m∥α，m∥β⇒α∥β；
②m⊥l，n⊥l⇒m∥n；
③l⊥α，l∥β⇒α⊥β；
④l⊥α，l⊥β⇒α∥β．
在这四个命题中，正确的命题是（ ）
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④

8. 难度：中等

已知函数f（x）=，若0＜x₁＜x₂＜1，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法判断与的大小

二、填空题

9. 难度：中等

设i是虚数单位，则=    ．

10. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=3，a₄=24，则a₃+a₄+a₅=    ．

11. 难度：中等

观察下列等式：1³+2³=（1+2）²，1³+2³+3³=（1+2+3）²，1³+2³+3³+4³=（1+2+3+4）²，…，根据以上规律，1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³=    ．（结果用具体数字作答）

12. 难度：中等

定义某种运算S=a⊗b，运算原理如框图所示，则式子的值为    ．

13. 难度：中等

已知函数，若f（6-a²）＞f（5a），则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为    ．

15. 难度：中等

已知曲线C的参数方程为（θ为参数），则曲线C上的点到直线2x-y+2=0的距离的最大值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数的最小正周期为π，且点在函数的图象上．
（1）确定函数f（x）的表达式，求f（x）取得最大值时x的取值集合；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

17. 难度：中等

如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（a，b）（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．
（Ⅰ）求某个家庭得分为（5，3）的概率？
（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？
（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（1，0），动点C满足条件：△ABC的周长为，记动点C的轨迹为曲线W．
（1）求W的方程；
（2）曲线W上是否存在这样的点P：它到直线x=-1的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，，点E为线段PB的中点，点M在AB弧上，且OM∥AC．
（1）求证：平面MOE∥平面PAC；
（2）求证：BC⊥平面PAC；
（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，
（1）当a=1时求方程|f（x）|=g（x）的解；
（2）若方程|f（x）|=g（x）有两个不同的解，求a的值；
（3）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知，数列{b_n}满足且b₂=4，b₅=32．
（1）分别求出数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）设，当n为奇数时，试判断方程T_n-P=2013是否有解，若有请求出方程的解，若没有，请说明理由．