2012-2013学年四川省成都市高三（上）摸底数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5，6}，则P∪Q=（ ）
A．ϕ
B．{3，4}
C．{1，2，5，6}
D．{1，2，3，4，5，6}

2. 难度：中等

对于函数f（x）=a^x-1（a＞0且a≠1，x∈R），下列命题正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象恒过点（1，1）
B．∃x∈R，使得f（x）≤0
C．函数f（x）在R上单调递增
D．函数f（x）在R上单调递减

3. 难度：中等

在等差数列等于（ ）
A．9
B．27
C．18
D．54

4. 难度：中等

函数f（x）=x+lgx-3的零点所在区间为（ ）
A．（3，+∞）
B．（2，3）
C．（1，2）
D．（0，1）

5. 难度：中等

已知α为第四象限的角，且=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．15
B．20
C．30
D．60

7. 难度：中等

设l，m，n为不重合的三条直线，其中直线m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．必要不充分条件

8. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，且|F₁F₂|=2c，点A在椭圆上，，，则椭圆的离心率e=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为线段BC₁上的动点，则下列判断错误的是（ ）

A．DB₁⊥平面ACD₁
B．BC₁∥平面ACD₁
C．BC₁⊥DB₁
D．三棱锥P-ACD₁的体积与P点位置有关

10. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，直线Z的参数方程为（t为参数，且t＞0）；以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为．则直线l和曲线C的公共点有（ ）
A．0个
B．l个
C．2个
D．无数个

11. 难度：中等

一批物资随17辆货车从甲地以vkm/h（90≤v≤120）的速度匀速运达乙地．已知甲、乙两地相距400km，为保证安全，要求两辆货车的间距不得小于km（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运达乙地最快需要的时间是（ ）
A．8小时
B．8.5小时
C．9小时
D．10小时

12. 难度：中等

若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=
对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

二、填空题

13. 难度：中等

某单位有青年职工300人，中年职工150人，老年职工100人．为调查职工健康状况，采用分层抽样的方法，抽取容量为33的样本，则应从老年职工中抽取的人数为    ．

14. 难度：中等

函数的定义域为    ．

15. 难度：中等

若实数x、y满足不等式组，则z=2x+y的最大值为    ．

16. 难度：中等

已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数
（I）化简函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，若，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是D₁C、AB的中点．
（I）求证：EF∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角D-EF-A的余弦值．

19. 难度：中等

某幼儿园在“六•一儿童节“开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：
方案一宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6），宝宝所得点数记为x，家长所得点数记为y；
方案二宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮（此计算器只能产生区间[1，6]，的随机实数），宝宝的计算器产生的随机实数记为m，家长的计算器产生的随机实数记为挖．
（I）在方案一中，若x+l=2y，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；
（Ⅱ）在方案二中，若m＞2n，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项的和S_n=n²+2n，数列{b_n}是正项等比数列，且满足a₁=2b₁，b₃（a₃-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项的和．

21. 难度：中等

已知圆C：（x+l）²+y²=8及点F（l，0），P为圆C上一动点，在同一坐标平面内的动点M满足：．
（I）求动点M的轨迹E的方程；
（II）过点F作直线l与（I）中轨迹E交于不同两点R、S，设，求直线l 的纵截距的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数为常数）．
（I）若函数f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求p，q的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，求证：方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（Ⅲ）若函数f （x）在（一∞，x₁）和（x₂，+∞）单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，又x₂-x₁＞l，且x₁＞a，试比较a²+pa+q与x₁的大小．