2012-2013学年广东省梅州市五华县高三（上）第一次质检数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁_UA）∪B为（ ）
A．{1，2，4}
B．{2，3，4}
C．{0，2，4}
D．{0，2，3，4}

2. 难度：中等

复数=（ ）
A．1-i
B．-1+i
C．1+i
D．-1-i

3. 难度：中等

设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．9π+42
B．36π+18
C．π+12
D．π+18

4. 难度：中等

“m＜1”是“函数f（x）=x²+x+m有零点”的（ ）
A．充分非必要条件
B．充要条件
C．必要非充分条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

若曲线y=x²+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x-y+1=0，则（ ）
A．a=1，b=1
B．a=-1，b=1
C．a=1，b=-1
D．a=-1，b=-1

6. 难度：中等

已知向量，，，x∈R，则f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数

7. 难度：中等

5名班委进行分工，其中A不适合做班长，B只适合作学习委员，则不同的分工方案种数为（ ）
A．18
B．24
C．60
D．48

8. 难度：中等

对于任意x，[x]表示不超过x的最大整数，如[1，1]=1[-2，1]=-3，定义R上的函数f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，若A={y|y=f（x），0≤x≤1}，则A中所有元素的和为（ ）
A．55
B．58
C．63
D．65

二、填空题

9. 难度：中等

计算：=    ．

10. 难度：中等

如图所示的流程图中，输出的结果是    ．

11. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，有a₆+a₇+a₈=12，则此数列的前13项之和为    ．

12. 难度：中等

展开式中，常数项是    ．

13. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x-2y的最小值为    ．

14. 难度：中等

在直角坐标系xoy 中，已知曲线C₁：（t为参数）与曲线C₂：（θ为参数，a＞0 ） 有一个公共点在X轴上，则a等于    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若 PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知，且，，求f（α-β）的值．

17. 难度：中等

第30届奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．将这20名志愿者的身高如下茎叶图（单位：cm）：
若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
（Ⅰ）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，如果从这5人中随机选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中随机选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，PA=AD=2，AC=1．
（Ⅰ）证明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值．

19. 难度：中等

设正项等比数列{a_n}的首项，前n项和为S_n，且2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项；
（Ⅱ）求{nS_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），设点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=kx，
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（3）求证：．