2012-2013学年山东省济南外国语学校高三（上）入学数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若i为虚数单位，则-等于（ ）
A．3-4i
B．-3+4i
C．3+4i
D．-3-4i

2. 难度：中等

椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是（ ）
A．
B．
C．1
D．

3. 难度：中等

在△ABC中，边a、b、c所对角分别为A、B、C，且，则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形
B．有一个角为30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个角为30°的等腰三角形

4. 难度：中等

若a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α=a+，β=b+，则α+β的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

5. 难度：中等

在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（ ）
A．m
B．m
C．m
D．m

6. 难度：中等

对下列命题的否定，其中说法错误的是（ ）
A．P：能被3整除的整数是奇数；￢P：存在一个能被3整除的整数不是奇数
B．P：每一个四边形的四个顶点共圆；￢P：每一个四边形的四个顶点不共圆
C．P：有的三角形为正三角形：￢P：所有的三角形都不是正三角形
D．P：∃x∈R，x²+2x+2≤0；￢p：∀x∈R，x²+2x+2≤0

7. 难度：中等

如图中阴影部分的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若命题甲为：成等比数列，命题乙为：lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差数列，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

已知x和y是正整数，且满足约束条件则z=2x+3y的最小值是（ ）
A．24
B．14
C．13
D．11.5

10. 难度：中等

曲线与曲线（k＜9）的（ ）
A．焦距相等
B．长、短轴相等
C．离心率相等
D．准线相同

11. 难度：中等

已知P是椭圆上一点，F₁和F₂是焦点，若∠F₁PF₂=30°，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A．
B．
C．4（2+）
D．4

12. 难度：中等

已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）
A．x=±
B．y=
C．x=
D．y=

二、填空题

13. 难度：中等

在数列，则数列{b_n}的前n项和为    ．

14. 难度：中等

当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

过抛物线y²=2px（P＞0）的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A、B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为，则m⁶+m⁴=    ．

16. 难度：中等

若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是     ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为l，
求：
（1）角C的大小；
（2）△ABC最短边的长．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+2（a∈R）且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0．
求：（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值．

20. 难度：中等

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离；
（Ⅲ）求二面角A-PB-D的余弦值．

21. 难度：中等

为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）．现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡．
（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（II）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

22. 难度：中等

如图，已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM⊥PF并交x轴于M点，延长MP到N，使|PN|=|PM|．
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）直线l与动点N的轨迹C交于A、B两点，若=-4，且≤|AB|≤，求直线l的斜率的取值范围．