2012-2013学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）开学数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∩B等于（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|1≤x＜2}
C．{x|0＜x＜2}
D．{x|x＞2}

2. 难度：中等

复数的实部是（ ）
A．-2
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

过原点且倾斜角为60°的直线被圆x²+（y-2）²=4所截得的弦长为（ ）
A．
B．
C．
D．2

4. 难度：中等

下列命题中，真命题的是（ ）
A．
B．，tanx＞sin
C．∃x∈R，x²+x=-1
D．∀x∈R，x²+2x＞4x-3

5. 难度：中等

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁和a₁₉为方程x²-10x+16=0的两根，则a₁₀=（ ）
A．2
B．4
C．±4
D．16

6. 难度：中等

已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知一组正数x₁，x₂，x₃，x₄的方差为，则数据x₁+2，x₂+2，x₃+2，x₄+2的平均数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6

8. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

A．
B．10
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinωx在区间[]上的最小值为-2，则ω的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（-∞，-2]∪[6，+∞）
D．

10. 难度：中等

设O是坐标原点，点M的坐标为（2，1）．若点N（x，y）满足不等式组，则使得取得最大值时点N个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个

11. 难度：中等

过抛物线y²=2x的焦点作一条直线与抛物线交于两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ）
A．有且只有一条
B．有且只有两条
C．有且只有三条
D．有且只有四条

12. 难度：中等

设定义在R上的函数，若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5个不同实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（-∞，-1）
C．（1，+∞）
D．（-∞，-2）∪（-2，-1）

二、填空题

13. 难度：中等

设向量，，且，则锐角α为    ．

14. 难度：中等

，设{a_n}是正项数列，其前n项和S_n满足：4S_n=（a_n-1）（a_n+3），则数列{a_n}的通项公式a_n=    ．

15. 难度：中等

给出50个数，1，3，7，13，21，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大2，第3个数比第2个数大4，第4个数比第3个数大6，…，以此类推．如图流程图给出了计算这50个数的和的一种算法，那么在（1）处应该填写的内容是     ．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，C=2A．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若ac=24，求a，c的值．

18. 难度：中等

某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，乙班为实验班，
甲班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后两班进行测试，成绩如下表（总分：150分）；
甲班

成绩	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）
频数	4	20	15	10	1

乙班

成绩	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）
频数	1	11	23	13	2

（1）现从甲班成绩位于[90，120）内的试卷中抽取9份进行试卷分析，请问用什么抽样方法更合理，并写出最后的抽样结果；
（2）完成下面2×2列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由．

	成绩小于100	成绩不小于100分	合计
甲班			50
乙班			50
合计	36	64	100

附：

p（K^2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，
AB=AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且
（1）判断EF与平面PBC的关系，并证明；
（2）当λ为何值时，DF⊥平面PAC？并证明．

20. 难度：中等

已知函数．（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，）在椭圆上，且•=0，⊙O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当•=λ，且满足≤λ≤时，求弦长|AB|的取值范围．

22. 难度：中等

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（Ⅰ）求证：AD⊥CD；
（Ⅱ）若，求AB的长．

23. 难度：中等

已知曲线C₁的参数方程为（θ为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．
（1）将曲线C₁的参数方程化为普通方程，将曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线C₁，C₂是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲．
设函数f（x）=2|x-1|+|x+2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，求实数m的取值范围．