2012-2013学年河北省衡水中学高二（上）第一次调研数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若，则下列不等式不正确的是（ ）
A．a+b＜ab
B．
C．ab＜b²
D．a²＞b²

2. 难度：中等

数列{a_n}的通项公式是a_n=（n∈N^*），那么a_n与a_n+1的大小关系是（ ）
A．a_n＞a_n+1
B．a_n＜a_n+1
C．a_n=a_n+1
D．不能确定

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，若S₁₆＞0，S₁₇＜0，则当S_n最大时n的值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．16

4. 难度：中等

若等差数列{a_n}满足a₂+S₃=4，a₃+S₅=12，则a₄+S₇的值是（ ）
A．20
B．36
C．24
D．72

5. 难度：中等

在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（ ）
A．3
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知实数m、n满足不等式组，则关于x的方程x²-（3m+2n）x+6mn=0的两根之和的最大值和最小值分别是（ ）
A．6，-6
B．8，-8
C．4，-7
D．7，-4

7. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m、a_n，使得，则m+n的值为（ ）
A．10
B．6
C．4
D．不存在

8. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，{b_n}为正项等比数列，公比q≠1，若a₁=b₁，a₁₁=b₁₁，则（ ）
A．a₆=b₆
B．a₆＞b₆
C．a₆＜b₆
D．以上都有可能

9. 难度：中等

数列{a_n}的a₁=1，=（n，a_n），=（a_n+1，n+1），且⊥，则a₁₀₀=（ ）
A．-100
B．100
C．
D．-

10. 难度：中等

将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：{2，4}，{6，8，10，12}，{14，16，18，20，22，24}，…则2120位于第（ ）组．
A．33
B．32
C．31
D．30

11. 难度：中等

数列{a_n}满足a_n+2a_n=2a_n+1（n∈N*），且a₁=1，a₂=2，则数列{a_n}的前2011项的乘积为（ ）
A．2²⁰⁰⁹
B．2²⁰¹⁰
C．2²⁰¹¹
D．2²⁰¹²

12. 难度：中等

数列{a_n}满足，则的整数部分是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

13. 难度：中等

在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A、B、C的对边，若b=2a，B=A+60°，则A=    ．

14. 难度：中等

数列1，1+2，1+2+4，…，1+2+4+…+2^n-1，…的前n项和s_n=    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，则a_n=    ．

16. 难度：中等

已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N^*（m，n∈N^*），且对任何m，n∈N^*，都有：①f（m，n+1）=f（m，n）+2，②f（m+1，1）=2f（m，1），给出以下三个结论：
（1）f（1，5）=9；（2）f（5，1）=18； （3）f（5，6）=26，其中正确结论的序号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A、B、C的对边，若2b=a+c，B=30°，△ABC的面积为，求b．

18. 难度：中等

数列是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4，
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若a_n=log₂b_n+3，求证：数列{a_n}是等差数列．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ．（n≥2且n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项之和S_n，求S_n．

20. 难度：中等

已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m²），其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m²）的旧住房．
（1）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.1⁵=1.6）
（2）按照（1）的拆除速度，至少需多少年才能使该地的住房面积比今年年初的住房面积翻一番．（取lg 3=0.477，lg 1.1=0.041）

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a，且对任意n∈N⁺，都有．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求证：．

22. 难度：中等

在数列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=S_n+3n-1（n∈N^*）
①求数列{a_n}的通项公式
②若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•（a_n+3）（λ为非零常数），问是否存在整数λ使得对任意n∈N^*都有b_n+1＞b_n？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．