2012-2013学年山西大学附中高二（上）10月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知点A（-3，1，-4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（-3，-1，4）
B．（-3，-1，-4）
C．（3，1，4）
D．（3，-1，-4）

2. 难度：中等

设棱锥的底面面积是8cm²，那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行底面的截面）的面积是（ ）
A．4cm²
B．
C．2cm²
D．

3. 难度：中等

一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ）

A．AB∥CD
B．AB与CD相交
C．AB⊥CD
D．AB与CD所成的角为60°

4. 难度：中等

三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形．若三棱柱的正视图（如图所示）的面积为8，则侧视图的面积为（ ）

A．8
B．4
C．
D．

5. 难度：中等

建立坐标系用斜二测画法画正△ABC的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知异面直线a，b所成的角为70°，则过空间任意一点M可作与a，b所成的角都是55°的直线有多少条（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

7. 难度：中等

设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
B．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
D．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β

8. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如果0直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ₁和θ₂，则（ ）
A．sin²θ₁+sin²θ₂≥1
B．sin²θ₁+sin²θ₂≤1
C．sin²θ₁+sin²θ₂＞1
D．sin²θ₁+sin²θ₂＜1

10. 难度：中等

连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1
其中真命题的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

11. 难度：中等

如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为（ ）

A．29cm
B．30cm
C．32cm
D．48cm

12. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M、N分别在BC和PO上，且CM=x，PN=2CM，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x变化关系（x∈（0，3]）（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知，且，则x的值是    ．

14. 难度：中等

已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，那么①m⊥β；     ②l⊥α；    ③β⊥γ；     ④α⊥β．
可由上述条件可推出的结论有    （请将你认为正确的结论的序号都填上）．

15. 难度：中等

如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是    ．

16. 难度：中等

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁为单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是AA₁→A₁D₁→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB₁→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是自然数），设黑、白蚂蚁都走完2012段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两只蚂蚁的距离是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知：=3-2-4≠0，=（x+1）+8+2y，且，，不共面若∥．求x，y的值．

18. 难度：中等

如图，E为矩形ABCD所在平面外一点，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求三棱锥C-BGF的体积．

19. 难度：中等

如图所示，已知多面体PABCD的直观图（图1）和它的三视图（图2），
（I）在棱PA上是否存在点E，使得PC∥平面EBD？若存在，求PE：PA的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由；
（II）求二面角B-PC-D的大小．（若不是特殊角请用反三角函数表示）

20. 难度：中等

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，，，且M是BD的中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角D-AF-B的大小；
（Ⅲ）在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为30°？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，，．将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图2）
（1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）求点B到平面ACD的距离．