2012-2013学年安徽省宣城市旌德中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为（ ）

A．5
B．9
C．17
D．33

3. 难度：中等

袋中有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，甲乙两人玩游戏，先由甲从袋中任意摸出一个小球，记下号码a后放回袋中，再由乙摸出一个小球，记下号码b，若|a-b|≤1，就称甲乙两人“有默契”，则甲乙两人“有默契”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图，一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长2的正三角形和正方形，则其体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知f（x）=3sinx-πx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（ ）
A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0
B．p是假命题，￢p：∃x∈（0，），f（x）≥0
C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）＞0
D．p是真命题，￢p：∃x∈（0，），f（x）≥0

6. 难度：中等

将两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（ ）
A．n=0
B．n=1
C．n=2
D．n≥3

7. 难度：中等

已知公比不为1的等比数列{a_n}的首项为1，若3a₁，2a₂，a₃成等差数列，则数列{}的前5项和为（ ）
A．
B．
C．121
D．31

8. 难度：中等

已知函数f（x）=，若f（2-a²）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（2，+∞）
B．（-1，2）
C．（-∞，-2）∪（1，+∞）
D．（-2，1）

9. 难度：中等

若x₁满足2x+2^x=5，x₂满足2x+2log₂（x-1）=5，x₁+x₂=（ ）
A．
B．3
C．
D．4

10. 难度：中等

我们常用以下方法求形如y=f（x）^g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导得到：•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）••f′（x），于是得到：y′=f（x）^g（x）[g′（x）lnf（x）+g（x）••f′（x）]，运用此方法求得函数y=的一个单调递增区间是（ ）
A．（e，4）
B．（3，6）
C．（0，e）
D．（2，3）

二、填空题

11. 难度：中等

（-）⁶展开式中，x³的系数等于   

12. 难度：中等

将6位志愿者分成4组，其中有2个组各2人，另两个组各1人，分赴2012年伦敦奥运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有    种．（用数字作答）

13. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为    ．

14. 难度：中等

对于实数a和b，定义运算“﹡”：a*b=设f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是    ．

15. 难度：中等

下列说法中正确的有   
①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等．
②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大．
③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响．
④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型．

三、解答题

16. 难度：中等

已知，且f（x）=．
（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范围．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=n²（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，．
（1）求证：面PAD⊥面PAC；
（2）求二面角D-PB-C的余弦值．

19. 难度：中等

某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：
①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），
⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），
得到频率分布直方图如下．已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人；
（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：

	利用时间充分	利用时间不充分	总计
走读生	50	25	75
住宿生	10	15	25
总计	60	40	100

是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？
参考公式：
参考列表：

P（K^2≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望．

20. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C₁交于A，B两点，若，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=plnx+（p-1）x²+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当P=1时，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：1n（n+1）＜1+…+（n∈N⁺）．