2012-2013学年北大附中深圳南山分校高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁_UA）∪B为（ ）
A．{1，2，4}
B．{2，3，4}
C．{0，2，4}
D．{0，2，3，4}

2. 难度：中等

设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（ ）
A．p为真
B．￢q为假
C．p∧q为假
D．p∨q为真

3. 难度：中等

已知m＞n＞1，0＜a＜1，下列不等式不成立的是（ ）
A．log_ma＞log_na
B．a^m＞aⁿ
C．a^m＜aⁿ
D．log_am＜log_an

4. 难度：中等

已知α是第二象限角，且的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知偶函数f（x）对∀x∈R满足f（2+x）=f（2-x）且当-2≤x≤0时，f（x）=log₂（1-x），则f（2011）的值为（ ）
A．2011
B．2
C．1
D．0

6. 难度：中等

函数y=1-|x-x²|的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知sinα=，α∈（，），则tan（+α）的值是（ ）
A．-
B．-
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数①y=sinx+cosx，②，则下列结论正确的是（ ）
A．两个函数的图象均关于点成中心对称
B．两个函数的图象均关于直线成中心对称
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同

9. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位

10. 难度：中等

在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形

二、填空题

11. 难度：中等

已知，，则=    ．

12. 难度：中等

复数z₁=5+2i（i为虚数单位），复数z满足z•z₁=5z+z₁，则z=    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，，则BC的长度为    ．

14. 难度：中等

已知向量夹角为45°，且，则=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（1）求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx-2cos²x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）当时，求函数f（x）的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；
（2）当a=3，b=-9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．

18. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．
（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；
（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．

19. 难度：中等

设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，向量=，=，已知与共线．   
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，，且△ABC的面积小于，求角B的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数．
（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）当时，讨论f（x）的单调性．