2012-2013学年湖南省湘中名校高三（上）9月联考数学试卷 （理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合，集合B是f（x）=ln（1-|x|）的定义域，则A∪B（ ）
A．[]
B．（-1，2]
C．（-1，1）∪（1，2）
D．（-1，2）

2. 难度：中等

已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．

3. 难度：中等

已知定义在R上的函数y=f（x）和y=g（x），则“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”是“y=f（x）+g（x）是奇函数”的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要

4. 难度：中等

函数的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，如下列结论中不正确的是．（ ）
A．AB⊥SA
B．BC∥平面SAD
C．BC与SA所成的角等于AD与SC所成的角
D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

6. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为，则数列{a_n}（ ）
A．有最大项，没有最小项
B．有最小项，没有最大项
C．既有最大项又有最小项
D．既没有最大项也没有最小项

7. 难度：中等

若0＜x＜，则4x与3sin2x的大小关系．（ ）
A．4x＞3sin2
B．4x＜3sin2
C．4x=3sin2
D．与x的取值有关

8. 难度：中等

ω是正实数，设S_ω={θ|f（x）=cos[ω（x+θ）]是奇函数}，若对每个实数a，S_ω∩（a，a+1）的元素不超过4个，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，π]
B．（0，2π]
C．（0，3π]
D．（0，4π]

二、填空题

9. 难度：中等

已知i为虚单位，则复数的虚部为    ．

10. 难度：中等

若的图象关于原点对称，是a=    ．

11. 难度：中等

在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，M是C与y轴的交点，则M的极坐标为    ．

12. 难度：中等

△ABC中，它的三边分别为a，b，c，若A=120°，a=5，则b+c的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知f（x）=rx-x^r（x＞0），其中r是区间（0，1）上的常数，则f（x）的单调增区间为    ．

14. 难度：中等

把12支足球队平均分成3组，则甲、乙两队分在同一组的概率为    ．

15. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log₂x）＞的解集为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

f（x）=sin²ωx+（ω＞0），且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求ω的值及f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1，b=，f（A）=1，求角C．

17. 难度：中等

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．

18. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，E、F分别为C₁C、BC的中点．
（1）求证：B₁F⊥平面AEF；
（2）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

19. 难度：中等

已知抛物线D的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线D的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线D于A、B两点．（i）若直线l的斜率为1，求AB的长；（ii）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

20. 难度：中等

某家庭为小孩买教育保险，小孩在出生的第一年父母就交纳保险金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d＞0），因此，历年所交纳的保险金数目为a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列，与此同时保险公司给予优惠的利息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定利率为r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交纳的保险金就变为a₁（1+r）^n-1，第二年所交纳的保险金就变为a₂（1+r）^n-2，…，以Tn表示到第n年末所累计的保险金总额．
（1）写出T_n与T_n+1的递推关系（n≥1）；
（2）若a₁=1，d=0.1，求{T_n}的通项公式．（用r表示）

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=，（a≠0）
（1）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；
（2）若a=1，b=-2设f（x）的图象C₁与g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，M、N的横坐标是m，求证：f′（m）＜g′（m）．