2011-2012学年广西南宁二中高三（上）8月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0}，B={x|2^x≤1}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．（-∞，1）
B．（1，+∞）
C．（-∞，1]
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

若函数y=f（x）的定义域是[-1，1]，则函数y=f（log₂x）的定义域是（ ）
A．[-1，1]
B．
C．
D．[1，4]

3. 难度：中等

定义运算，则符合条件=0的复数z的共轭复数 对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

设向量与的模分别为6和5，夹角为120°，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若函数f（x）=xlnx的图象在x=1处的切线为l，则l上的点到圆x²+y²+4x-2y+4=0上的点的最近距离是（ ）
A．
B．
C．
D．1

6. 难度：中等

已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

7. 难度：中等

设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x³的系数为（ ）
A．-150
B．150
C．-500
D．500

8. 难度：中等

二次函数y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，当n依次取1，2，3，4，…，n，…时，图象在x轴上截得的线段的长度的总和为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

F₁，F₂分别是双曲线-=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F₂作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF₁F₂的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．
C．3
D．

10. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

11. 难度：中等

设，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b

12. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如表格所示，f′（x）为f（x）．的导函数，函数y=f′（x）的图象如右图所示：

x	-2		4
f（x）	1	-1	1

若两正数a，b满足的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若a＜b＜0，则与的大小关系是    ．

14. 难度：中等

函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_k+1，k为正整数，a₁=16，则a₁+a₃+a₅=   

15. 难度：中等

一次观众的抽奖活动的规则是：将9个大小相同，分别标有1，2，…，9这9个数的小球，放进纸箱中．观众连续摸三个球，如果小球上的三个数字成等差算中奖，则观众中奖的概率为    ．

16. 难度：中等

已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设函数
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为的值．

18. 难度：中等

由于近几年民用车辆增长过快，造成交通拥堵现象日益严重，现有A、B、C三辆车从同一地点同时出发，开往甲、乙、丙三地，已知A、B、C这三辆车被驶往目的地的过程中，出现堵车的概率依次为、、，且每辆车是否被堵互不影响．
（Ⅰ）求这三辆车恰有一辆车被堵的概率；
（Ⅱ）用ξ表示这三辆车中被堵的车辆数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA₁=．
（1）求证：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求二面角D-A₁C-A的大小．

20. 难度：中等

已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（2，2）的直线与曲线C交于A、B两点，设．当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求λ的值．

21. 难度：中等

在直角坐标平面上有一点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对一切正整数n，点P_n在函数的图象上，且P_n的横坐标构成以为首项，-1为公差的等差数列{x_n}．
（1）求点P_n的坐标；
（2）设抛物线列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线C_n的顶点为P_n，且过点D_n（0，n²+1）．记与抛物线C_n相切于点D_n的直线的斜率为k_n，求；
（3）设S={x|x=2x_n，n∈N*}，T={y|y=4y_n，n∈N*}，等差数列{a_n}的任一项a_n∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大数，-265＜a₁₀＜-125，求数列{a_n}的通项公式．

22. 难度：中等

设x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（Ⅰ）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若的最大值；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求证：．