2011-2012学年广西南宁二中高三（上）8月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0}，B={x|2^x≤1}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．（-∞，1）
B．（1，+∞）
C．（-∞，1]
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

若函数y=f（x）的定义域是[-1，1]，则函数y=f（log₂x）的定义域是（ ）
A．[-1，1]
B．
C．
D．[1，4]

3. 难度：中等

若p：|x+1|＞2，q：x＞2，则¬p是¬q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

设向量与的模分别为6和5，夹角为120°，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知函数y=f^-1（x）的图象过（1，0），则的反函数的图象一定过点（ ）
A．（1，2）
B．（2，1）
C．（0，2）
D．（2，0）

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₅=18-a₄，则S₈等于（ ）
A．144
B．72
C．54
D．36

7. 难度：中等

已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

8. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

9. 难度：中等

F₁，F₂分别是双曲线-=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F₂作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF₁F₂的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．
C．3
D．

10. 难度：中等

设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x³的系数为（ ）
A．-150
B．150
C．-500
D．500

11. 难度：中等

设a=log₃2，b=ln2，c=，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a

12. 难度：中等

若函数f（x）=log_a（x³-ax）（a＞0，a≠1）在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若a＜b＜0，则与的大小关系是    ．

14. 难度：中等

已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=    ．

15. 难度：中等

一次观众的抽奖活动的规则是：将9个大小相同，分别标有1，2，…，9这9个数的小球，放进纸箱中．观众连续摸三个球，如果小球上的三个数字成等差算中奖，则观众中奖的概率为    ．

16. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数；
②f（x）关于直线x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上是减函数；
⑤f（2）=f（0），
其中正确的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设函数
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为的值．

18. 难度：中等

体育课上练习投篮，甲、乙两名学生在罚球线投球的命中率分别为、，每人投球3次．
（Ⅰ）求两人都恰好投进2球的概率；
（Ⅱ）求甲恰好赢乙1球的概率．

19. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA₁=．
（1）求证：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求二面角D-A₁C-A的大小．

20. 难度：中等

已知在函数f（x）=mx³-x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为．
（1）求m、n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1995对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（2，2）的直线与曲线C交于A、B两点，设．当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求λ的值．

22. 难度：中等

在直角坐标平面上有一点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对一切正整数n，点P_n在函数的图象上，且P_n的横坐标构成以为首项，-1为公差的等差数列{x_n}．
（1）求点P_n的坐标；
（2）设抛物线列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线C_n的顶点为P_n，且过点D_n（0，n²+1）．记与抛物线C_n相切于点D_n的直线的斜率为k_n，求；
（3）设S={x|x=2x_n，n∈N*}，T={y|y=4y_n，n∈N*}，等差数列{a_n}的任一项a_n∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大数，-265＜a₁₀＜-125，求数列{a_n}的通项公式．