2011-2012学年江苏省淮安市金湖二中高二（上）学情调查数学试卷（一）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

直线l不在平面α内    （用∈，∉，⊂，⊄等符号表示）

2. 难度：中等

若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积之比为    ．

3. 难度：中等

如图所示的直观图，则其平面图形的面积为    ．

4. 难度：中等

若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，AB₁与底面ABCD成60°角，则A₁C₁到底面ABCD的距离为    ．

5. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为棱BC和棱CC₁的中点，则直线AC和MN所成的角的度数是    度．

6. 难度：中等

如图，在边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱AB上一点，M是棱D₁C₁上一点，则三棱锥M-DEC的体积是    ．

7. 难度：中等

设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是   
①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β        ②若l∥α，α∥β，则l⊂β
③若l⊥α，α∥β，则l⊥β        ④若l∥α，α⊥β，则l⊥β

8. 难度：中等

圆台上、下底面面积分别为π、4π，侧面积是6π，这个圆台的高为    ．

9. 难度：中等

半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为    ．

10. 难度：中等

已知m，n，l是直线，α、β是平面，下列命题中，正确的命题是    ．（填序号）
①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；
②若l平行于α，则α内可有无数条直线与l平行；
③若m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β；
④若m⊥n，n⊥l则m∥l；
⑤若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l．

11. 难度：中等

棱长为a的正方体的外接球的表面积是    ．

12. 难度：中等

正四棱锥的底面边长为，它的侧棱与底面所成角为60°，则正四棱锥的体积为    ．

13. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，则二面角D₁-AB-D的大小为    ．

14. 难度：中等

已知△ABC不在平面α内，若A、B、C三点到平面α的距离相等，则平面ABC与平面α的位置关系是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：
（1）直线EF∥面ACD；
（2）平面EFC⊥面BCD．

16. 难度：中等

如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥DC．

17. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，E是PA的中点．
（Ⅰ）判断直线PC与平面BDE的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）求二面角E-BD-A的大小．

18. 难度：中等

如图，在三棱锥A-BCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若AC=BD，求证：四边形EFGH是菱形；
（3）当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．

19. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，C是圆O上的点，PA垂直于圆O所在平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F
求证：（1）BC⊥AF；
（2）平面AEF⊥平面PAB；
（3）AB=2，，，求三棱锥P-ABC的全面积．

20. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥B₁C；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-EFC的体积．