2011-2012学年江苏省常州市奔牛高级中学高二（上）数学寒假作业4（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²+1＜0”的否定形式是    ．

2. 难度：中等

给出下列命题：①“x＞2”是“x≥2”的必要不充分条件；②“若x≠3，则x²-2x-3≠0”的逆否命题是假命题；③“9＜k＜15”是“方程表示椭圆”的充要条件．其中真命题的个数是    个．

3. 难度：中等

已知一个班的数学成绩的茎叶图如图所示，那么合格率（大于等于60分）是    ．

4. 难度：中等

如图程序运行后输出的结果为    ．

5. 难度：中等

已知工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为，若劳动生产率提高1000元，则工资提高    元．

6. 难度：中等

已知双曲线的两条准线将两焦点间的线段三等分，则双曲线的离心率是    ．

7. 难度：中等

在抛物线y²=4x上有点M，它到直线y=x的距离为，若点M的坐标为（m，n）且m＞0，n＞0，则的值为    ．

8. 难度：中等

已知点A（1，0），曲线C：y=x²-2，点Q是曲线C上的一动点，若点P与点Q关于A点对称，则点P的轨迹方程为     ．

9. 难度：中等

如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是=（1，0，1），=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是    ．

10. 难度：中等

若下列算法的程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是     ．

11. 难度：中等

设集合A={x|x²+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，则B⊊A的一个充分不必要条件是    ．

12. 难度：中等

在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是    ．（结果用分数表示）

13. 难度：中等

圆锥曲线G的一个焦点是F，与之对应的准线是，过F作直线与G交于A、B两点，以AB为直径作圆M，圆M与的位置关系决定G 是何种曲线之间的关系是：   

圆M与的位置	相离	相切	相交
G 是何种曲线

14. 难度：中等

离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个顶点，则∠FBA等于    ．

二、解答题

15. 难度：中等

为了了解高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？
（2）样本容量是多少？
（3）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？

16. 难度：中等

（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点的椭圆的标准方程；
（2）求与椭圆有共同的焦点并且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程．

17. 难度：中等

（1）已知不同的实数a，b∈{-1，1，2}，求直线y=ax+b不经过第四象限的概率；
（2）若a∈[-2，2]，b∉[-1，1]，求直线ax+by+1=0（a、b不同时为0）与圆x²+y²=1有公共点的概率．

18. 难度：中等

已知常数c＞0．根据如图的程序框图：
（1）写出y与x得函数关系式y=f（x）；
（2）设p：函数y=c^3x+1在R上单调递减；q：不等式f（x）＞1的解集为R，如果p或q为真，p且q为假，求c的取值范围．

19. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B与点A关于原点对称，AF₂-F₁F₂=0，若椭圆的离心率等于
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）若△ABF₂的面积等于4，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，椭圆上是否存在点M使得△MA的面积等于8？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是AC与BD的交点，M是CC₁的中点．
（1）求证：A₁P⊥平面MBD；
（2）求直线B₁M与平面MBD所成角的正弦值；
（3）求平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值．