2011-2012学年安徽省合肥八中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果复数（m²+i）（1+mi）是实数，则实数m=（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

2. 难度：中等

设全集U是实数集R，M={x|x²＞4}，N={x|x≥3或x＜1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A．{x|-2≤x＜1}
B．{x|-2≤x≤2}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|x＜2}

3. 难度：中等

在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

4. 难度：中等

函数f（x）=-（cosx）|lg|x||的部分图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知P是双曲线上的点，F₁、F₂是其焦点，双曲线的离心率是的面积为9，则a+b的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

6. 难度：中等

已知函数f（x）=x⁴-2x³+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥
B．m＞
C．m≤
D．m＜

7. 难度：中等

2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．60
B．48
C．42
D．36

8. 难度：中等

把一副三角板ABC与ABD摆成如图所示的直二面角D-AB-C，则异面直线DC与AB所成角的正切值为（ ）

A．
B．
C．
D．不存在

9. 难度：中等

函数y=2cosx（cosx-sinx）-的图象F按向量平移到F′，F′的函数解析式为y=f（x），当y=f（x），为奇函数时，向量可以等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设数列{a_n}（n∈N^*）满足a_n+2=2a_n+1-a_n，S_n是其前n项的和，且S₅＜S₆，S₆=S₇＞S₈，则下列结论错误的是（ ）
A．a_n+1-a_n＜0
B．a₇=0
C．S₉＞S₅
D．S₆与S₇均为Sn的最大值

二、填空题

11. 难度：中等

若命题“∃x∈R，使x²+（a-1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为    ．

12. 难度：中等

设，则二项式的展开式中，x²项的系数为    ．

13. 难度：中等

若框图所给的程序运行结果为S=28，那么判断框中应填入的关于k的条件是    ．

14. 难度：中等

已知点P（x，y）在由不等式组确定的平面区域内，O为坐标原点，点A（-1，2），则||•cos∠AOP的最大值是    ．

15. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，点M、N分别在线段AB₁、BC₁上，且AM=BN．以下结论：
①AA₁⊥MN；
②MN∥平面A₁B₁C₁D₁；
③MN与A₁C₁异面；
④点B₁到面BDC₁的距离为；⑤若点M、N分别为线段AB₁、BC₁的中点，则由线MN与AB₁确定的平面在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 上的截面为等边三角形．其中有可能成立的结论为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，已知sin（+B）=．
（1）求tan2B的值；
（2）若cosA=，c=10，求△ABC的面积；
（3）若函数f（x）=，求f（C）+sin2C的值．

17. 难度：中等

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小；
（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小．

18. 难度：中等

将10个白小球中的3个染成红色，3个染成蓝色，试解决下列问题：
（1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列和数学期望；
（2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点P（S_n，a_n）在直线（3-m）x+2my-m-3=0上，（m∈N^*，m为常数，m≠3）；
（1）求a_n；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足，求证：为等差数列，并求b_n；
（3）设数列{c_n}满足c_n=b_n•b_n+2，T_n为数列{c_n}的前n项和，且存在实数T满足T_n≥T，（n∈N*），求T的最大值．

20. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²-2x．
（1）设h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的最大值；
（2）证明：当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2b）＜；
（3）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x-1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．