2011-2012学年湖南省衡阳八中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=a+bi（a，b∈R）的虚部记作Im（z），则Im=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知向量=（1，-2），=（x，2），若⊥，则=（ ）
A．
B．
C．5
D．20

3. 难度：中等

（文）公差不为零的等差数列第2、3、6项构成等比数列，则公比为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

“”是“tanα=-1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

若，则f（2012）等于（ ）
A．1
B．2
C．
D．

6. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列{a_n}，a₁a₂a₃=5，，则a₇a₈a₉=（ ）
A．10
B．
C．8
D．

7. 难度：中等

函数y=sinx+sin（-x）具有性质（ ）
A．图象关于点（-，0）对称，最大值为1
B．图象关于点（-，0）对称，最大值为2
C．图象关于点（-，0）对称，最大值为2
D．图象关于直线x=-对称，最大值为1

8. 难度：中等

已知集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，M={（x，y）||x|+|y|＜a}，P={（x，y）y=f（x）}，现给出下列函数：
①y=a^x
②y=log_ax
③y=sin（x+a）
④y=cosax，
若0＜a＜1时，恒有P∩∁uM=P，则f（x）所有可取的函数的编号是（ ）
A．①②③④
B．①②④
C．①②
D．④

二、填空题

9. 难度：中等

=    ．

10. 难度：中等

已知，则=    ．

11. 难度：中等

正项数列{a_n}满足a₁=2，，则{a_n}的通项公式为a_n=    ．

12. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的取值范围是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n，则a₁+a₂+…+a₉₉的值为______．

四、填空题

14. 难度：中等

设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2ⁿ）．则（1）S（4）=    ．（2）S（n）=．

五、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，求△ABC面积最大值．

17. 难度：中等

已知x满足不等式（log₂x）²-log₂x²≤0，求函数（a∈R）的最小值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S_n是其前n项的和，a₁，2a₇，3a₄成等差数列．
（I）证明12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列；
（II）求和T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2．

19. 难度：中等

某园林公司计划在一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC区域用于观赏样板地，△OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元．
（1）设∠COD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形CMDC的面积S_弓=f（θ）；
（2）园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？并求相对应的θ．
（参考公式：扇形面积公式，l表示扇形的弧长）

20. 难度：中等

已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+2lnx，（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知曲线C：y=4^x，C_n：y=4^x+n（n∈N+），从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1），设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）记，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：；
（3）若已知，记数列{a_n}的前n项和为A_n，数列{d_n}的前n项和为B_n，试比较A_n与的大小．