2011-2012学年福建省四地六校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

为了了解某中学学生的体能情况，体育组决定抽样三个年级部分学生进行跳绳测试，并将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数是5．
（1）求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数；
（2）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？
（3）参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？

2. 难度：中等

把一颗骰子投掷两次，记第一次出现的点数为a²，第二次出现的点数为b²（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若记事件A“焦点在x轴上的椭圆的方程为”，求事件A的概率；
（Ⅱ）若记事件B“离心率为2的双曲线的方程为”，求事件B的概率．

3. 难度：中等

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（1，0），且过点A（t，2）．
（1）求t的值；
（2）若直线y=kx-1与抛物线C只有一个公共点，求实数k的值．

4. 难度：中等

设命题P：对任意实数，不等式x²-2x＞m恒成立；命题：方程表示焦点在x轴上的双曲线．
（Ⅰ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∨q””为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

5. 难度：中等

已知中心在坐标轴原点O的椭圆C经过点A（1，），且点F（-1，0）为其左焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）试判断以AF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

6. 难度：中等

已知点M（k，l）、P（m，n），（klmn≠0）是曲线C上的两点，点M、N关于x轴对称，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），
（Ⅰ）用k、l、m、n分别表示x_E和x_F；
（Ⅱ）当曲线C的方程分别为：x²+y²=R²（R＞0）、时，探究x_E•x_F的值是否与点M、N、P的位置相关；
（Ⅲ）类比（Ⅱ）的探究过程，当曲线C的方程为y²=2px（p＞0）时，探究x_E与x_F经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论．

二、选择题

7. 难度：中等

椭圆的焦点坐标为（ ）
A．（±5，0）
B．（0，±5）
C．（0，）
D．（，0）

8. 难度：中等

从集合{1，2，3，4，5}中随机取出一个数，设事件A为“取出的数为偶数”，事件B为“取出的数为奇数”，则事件A与B（ ）
A．是互斥且对立事件
B．是互斥且不对立事件
C．不是互斥事件
D．不是对立事件

9. 难度：中等

抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若弦长|AB|=8，则弦AB中点的横坐标为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

11. 难度：中等

“双曲线方程为x²-y²=6”是“双曲线离心率”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

12. 难度：中等

如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则在这几场比赛中甲得分的中位数与乙得分的众数分别是（ ）

A．3，2
B．8，2
C．23，23
D．28，32

13. 难度：中等

在同一坐标系中，方程与ax+by²=0（a＞b＞0）的曲线大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（ ）

A．22
B．46
C．94
D．190

15. 难度：中等

下列四个命题：
①使用抽签法，每个个体被抽中的机会相等；
②将十进制数11_（10）化为二进制数为1011_（2）；
③利用秦九韶算法求多项式 f（x）=x⁵+2x³-x²+3x+1在x=1的值时v₃=2；
④已知一个线性回归方程是=3-2x，则变量x与y之间具有正相关关系．
其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

16. 难度：中等

已知动点A、B分别在图中抛物线y²=4x及椭圆+=1的实线上运动，若AB∥x轴，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是（ ）

A．（3，4]
B．（3，4）
C．（，4]
D．（，4）

三、填空题

17. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，x²+1＞0．则¬p是    ．

18. 难度：中等

若双曲线-=1（b＞0）的渐近线方程式为y=，则b等于    ．

19. 难度：中等

如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为     ．

20. 难度：中等

若椭圆的左焦点在抛物线y²=2px的准线上，则p的值为    ．

21. 难度：中等

如图，P是双曲线上的动点，F₁、F₂是双曲线的焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上一点，且．某同学用以下方法研究|OM|：延长F₂M交PF₁于点N，可知△PNF₂为等腰三角形，且M为F₂M的中点，得．类似地：P是椭圆上的动点，F₁、F₂是椭圆的焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上一点，且．则|OM|的取值范围是     ．