2011-2012学年江苏省镇江市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A=（-∞，0），B={-1，-3，a}，若（∁_UA）∩B≠∅，则实数a的取值范围是    ．

2. 难度：中等

已知，则a+b=    ．

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}，a₄+a₆=10，前5项的和S₅=5，则其公差为    ．

4. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²+x＞0”的否定是“    ．

5. 难度：中等

圆x²+y²=r²在点（x，y）处的切线方程为，类似的，可以求得椭圆在（2，1）处的切线方程为    ．

6. 难度：中等

以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为    ．

7. 难度：中等

如图，矩形ABCD由两个正方形拼成，则∠CAE的正切值为    ．

8. 难度：中等

直线xcosθ+ysinθ=2与圆x²+y²=4的公共点的个数是    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，若，则边AB的长等于    ．

10. 难度：中等

已知P是椭圆上的动点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，则的取值范围是    ．

11. 难度：中等

计算：sin10°cos20°sin30°cos40°=    ．

12. 难度：中等

已知函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x-1，则函数g（x）=x²+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为    ．

13. 难度：中等

方程在区间[-2010，2012]所有根之和等于    ．

14. 难度：中等

不等式a²+8b²≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知集合A={x|x²-3x+2≤0}，集合B为函数y=x²-2x+a的值域，集合C={x|x²-ax-4≤0}，命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C．
（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足bcosC+c=a．
（1）求角B；
（2）若a，b，c成等比数列，判断△ABC的形状．

17. 难度：中等

已知实数q≠0，数列{a_n}的前n项和S_n，a₁≠0，对于任意正整数m，n且m＞n，恒成立．
（1）证明数列{a_n}是等比数列；
（2）若正整数i，j，k成公差为3的等差数列，S_i，S_j，S_k按一定顺序排列成等差数列，求q的值．

18. 难度：中等

有一海湾，海岸线为近似半个椭圆（如图），椭圆长轴端点为A，B，AB间距离为3km，椭圆焦点为C，D，CD间距离为2km，在C，D处分别有甲，乙两个油井，现准备在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比（比例系数都为k₁），与距离的平方成反比（比例系数都为k₂），又知甲油井排出的废气浓度是乙的8倍．
（1）设乙油井排出的浓度为a（a为常数）度假村P距离甲油井xkm，度假村P受到甲乙两油井的污染程度和记为f（x），求f（x）的表达式并求定义域；
（2）度假村P距离甲油井多少时，甲乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？

19. 难度：中等

已知函数（e为自然对数的底数）设方程f（x）=x的一个根为t，且a＞t，f（a）=b．
（1）求函数f（x）的导函数f′（x）；求导函数f′（x）的值域；
（2）证明：①a＞b，②a+f（a）＞b+f（b）．

20. 难度：中等

已知椭圆E：的上顶点为M（0，1），两条过M点动弦MA、MB满足MA⊥MB．
（1）当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求此时椭圆E的方程；
（2）若直角三角形MAB的面积的最大值为，求a的值；
（3）对于给定的实数a（a＞1），动直线是否经过一个定点？如果经过，求出该定点的坐标（用a表示）否则，说明理由．