2011-2012学年广东省广州市增城中学高三（上）综合测试数学试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

下列函数中f（x）与g（x）相等的是（ ）
A．f（x）=x-1，
B．f（x）=x²，
C．f（x）=x²，
D．，

3. 难度：中等

函数f（x）=2sin（）的最小正周期是（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．

4. 难度：中等

函数f（x）=的定义域是（ ）
A．
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x≥1}
D．

5. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，若，则下列各表述是正确的为（ ）

A．+=
B．+=
C．
D．

6. 难度：中等

函数的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

定积分=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图所示，f_i（x）（i=1，2，3，4）是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x₁和x₂，任意λ∈[0，1]，f[λx₁+（1-λ）x₂]≤λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）恒成立”的只有（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知f（x）=|sinx|的最小正周期为    ．

10. 难度：中等

化简=    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=4x²-kx-8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=2xtanx的导函数f'（x）=    ．

13. 难度：中等

已知如下几个式子：
（1）；  
（2）；
（3）；       
（4）在△ABC中，c（acosB-bcosA）=a²-b²．
上述式子成立的是    ．（请填写序号）

14. 难度：中等

如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB=OB=2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则PC=    ，CD=    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）方程表示的曲线的普通方程是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）求f（x）的单调增区间．

17. 难度：中等

抛物线C：的焦点为F．
（1）已知抛物线C上点A的横坐标为1，求在点A处抛物线C的切线方程；
（2）斜率为1的直线l过点F，与抛物线C相交于M、N两点，求线段MN的长．

18. 难度：中等

如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAB；
（2）求异面直线EG与BD所成的角的余弦值．

19. 难度：中等

如图，已知OPQ是半径为为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，矩形ABCD的面积为S．
（1）请找出S与α之间的函数关系（以α为自变量）；
（2）求当α为何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x-sinx
（Ⅰ）若x∈[0，π]，试求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若x∈[0，π]，θ∈[0，π]，求证：；
（Ⅲ）若x∈[kπ，（k+1）π]，θ∈（kπ，（k+1）π），k∈z，猜想； 的大小关系．（不必证明）

21. 难度：中等

已知函数．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 ，使不等式f（x）＞m（1-a²）成立，求实数m的取值范围．