2010-2011学年江西省吉安市高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

如图，在一个长为π，宽为1的矩形OABC内，曲线y=sinx，（0≤x≤π）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一个点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率为    ．

2. 难度：中等

若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，则此四面体的体积V=    ．

3. 难度：中等

若直线l经过原点且与曲线y=x³-3x²+2x相切，则直线l的方程为    ．

4. 难度：中等

不等式对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是    ．

二、解答题

5. 难度：中等

设（ax+2b）⁹与（bx+2a）⁸展开式中x³项的系数相等（a＞0，b≠0）
（1）求的取值范围；
（2）当展开式中二项式系数最大的项．

6. 难度：中等

设数列．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{S_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

7. 难度：中等

某射击运动员射击一次所得的环数与概率的关系如下表所示

环数	7	8	9	10
概率	0.1	0.4	0.4	0.1

现进行两次射击，每次射击互不影响，
（1）求该运动员两次射击中至少有一次命中8环的概率；
（2）求两次射击环数总和ξ不小于17的概率．

8. 难度：中等

已知函数；
（1）若不等式f（x）+2x+2＜m在[0，2]内有解，求实数m的取值范围；
（2）若函数在区间[0，5]上没有零点，求实数a的取值范围．

9. 难度：中等

甲、乙两人参加一项智力测试．已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每位参赛者都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过．
（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率．

10. 难度：中等

设函数，已知它们在x=1处的切线互相平行．
（1）求b的值；
（2）当x＞0时，求证：x²-2lnx≥1；
（3）若函数，且方程F（x）=a²有且仅有四个解，求实数a的取值范围．

三、选择题

11. 难度：中等

下列结论中正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x）是极大值
C．如果在x附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x）是极小值
D．如果在x附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x）是极大值

12. 难度：中等

已知x与y之间的一组数据：

x		1	2	3
y	2	4	6	8

则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（ ）
A．（1.5，4）
B．（1.5，5）
C．（1，5）
D．（2，5）

13. 难度：中等

函数y=x²cosx的导数为（ ）
A．y′=2xcosx-x²sin
B．y′=2xcosx+x²sin
C．y′=x²cosx-2xsin
D．y′=xcosx-x²sin

14. 难度：中等

不等式的解集是（ ）
A．（0，3）
B．（-∞，0）
C．（3，+∞）
D．（-∞，0）∪（0，+∞）

15. 难度：中等

若（x+）ⁿ展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．10
B．20
C．30
D．120

16. 难度：中等

观察sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=，sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=和sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=，…，由此得出的以下推广命题中，不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

由数字4，5，6，7，8所组成的没有重复数字的四位数中6与7相邻的奇数有（ ）
A．14个
B．15个
C．16个
D．17个

18. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+x在（0，+∞）有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．
C．（-∞，0）
D．

19. 难度：中等

由|x|≤1，|y|≤1围成的平面区域的所有整点（横、纵坐标都是整数的点）排成三行三列，从中任取三个点，则这三个点既不同行又不在同列的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

20. 难度：中等

设a，b，c∈（-∞，0），则a+，b+，c+（ ）
A．都不大于-2
B．都不小于-2
C．至少有一个不大于-2
D．至少有一个不小于-2

四、填空题

21. 难度：中等

某学校高二年级期中考试数学成绩ξ服从N（110，10²）正态分布，若规定90分以下为不及格，则这次考试的不及格率大约是    ．（临界值：0.683；0.954；0.997）