2011-2012学年山东省威海市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“x＜-1”是“x²-1＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

不等式-x²-5x+6≤0的解集为（ ）
A．{x|x≥6或x≤-1}
B．{x|-1≤x≤6}
C．{x|-6≤x≤1}
D．{x|x≤-6或x≥1}

3. 难度：中等

椭圆的焦距等于（ ）
A．1
B．2
C．
D．4

4. 难度：中等

下列四个命题是假命题的为（ ）
A．∀x∈R，x²+2＞0
B．∀x∈N，x⁴≥1
C．∃x∈Z，x³＜1
D．∀x∈Q，x²≠3

5. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和，则a₈的值为（ ）
A．15
B．16
C．49
D．64

6. 难度：中等

抛物线y=ax²的准线方程是y=2，则a的值为（ ）
A．
B．
C．8
D．-8

7. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₃a₄a₅a₆a₇=243，则的值为（ ）
A．9
B．6
C．3
D．2

8. 难度：中等

在平行六面体ABCD-A′B′C′D′，O′是上底面的中心，设=，=，=，则=（ ）

A．++
B．++
C．++
D．++

9. 难度：中等

已知矩形的边长x，y满足4x+3y=12，则矩形面积的最大值为（ ）
A．3
B．6
C．8
D．9

10. 难度：中等

若关于x的不等式a（1-x）＞3x+2的解集为∅，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≥-3
B．a≤-3
C．a=-3
D．a＞-3

11. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，那么，在数列{S_n}中（ ）
A．任一项均不为零
B．必有一项为零
C．至多一项为零
D．任一项不为零或有无穷多项为零

12. 难度：中等

函数的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量a=（-2，x，5）与b=（-8，-2，0）互相垂直，则x=    ．

14. 难度：中等

AB是过抛物线y²=4x焦点的一条弦，已知AB=20，则直线AB的方程为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，则b=    ．

16. 难度：中等

设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a=3，C=60°，△ABC的面积等于，求边长b和c．

18. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线为，且与椭圆x²+4y²=64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．

19. 难度：中等

已知命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集为空集∅；命题q：函数f（x）=ax²+ax+1没有零点，若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，S₄=20．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{b_n}前n项和公式．

21. 难度：中等

四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，，∠BAD=120°，E为PC中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；
（Ⅱ）求二面角E-AB-C的平面角的余弦值．

22. 难度：中等

设F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，过左焦点F₁作直线l与椭圆交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）若OA⊥OB，求AB的长；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点M，使得为常数？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由．