2011-2012学年湖南省邵阳市洞口四中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＜1}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（ ）
A．{x|-1＜x＜2}
B．{x|x＜1}
C．{x|-1＜x＜1}
D．{x|1＜x＜2}

2. 难度：中等

已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a²+b²+c²≥3”的否命题是（ ）
A．若a+b+c≠3，则a²+b²+c²＜3
B．若a+b+c=3，则a²+b²+c²＜3
C．若a+b+c≠3，则a²+b²+c²≥3
D．若a²+b²+c²≥3，则a+b+c=3

3. 难度：中等

“x=30°”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

曲线y=x³+11在点P（1，12）处的切线与x轴交点的横坐标是（ ）
A．-9
B．-3
C．9
D．15

5. 难度：中等

若对∀a∈（-∞，0），∃x∈R，使acosx≤a成立，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

下列命题中是假命题的是（ ）
A．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβ
B．∀x＞0，有ln⁶x+ln³x+1＞0
C．上递减
D．∀ϕ∈R，函数y=sin（2x+ϕ）都不是偶函数

7. 难度：中等

同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（ ）
A．f（1）与f（-1）
B．f（-1）与f（1）
C．f（-2）与f（2）
D．f（2）与f（-2）

二、填空题

9. 难度：中等

曲线y=4x-x³在点（-1，-3）处的切线方程是     ．

10. 难度：中等

已知，则tanα=    ．

11. 难度：中等

若“x²＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为    ．

12. 难度：中等

若tan（x+y）=，tan（y-）=，则tan（x+）的值是    ．

13. 难度：中等

把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是    ．

14. 难度：中等

设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是    ．

15. 难度：中等

给出下列命题：
①函数y=cos是奇函数；
②存在实数α，使得sinα+cosα=；
③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；
④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；
⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．
其中命题正确的是    （填序号）．

三、解答题

16. 难度：中等

不等式f（x）=的定义域为集合A，关于x的不等式R）的解集为B，求使A∩B=B的实数a取值范围．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x-2sin（x+）sin（x-）．
（1）若tanα=2，求f（α）；
（2）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．

18. 难度：中等

某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

19. 难度：中等

已知向量，，函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的单调递增区间．
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，a=1且f（A）=3，求△ABC面积S的最大值．

20. 难度：中等

已知定义在区间[0，2]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4（a≥1），．
（1）求函数y=f（x）的最小值m（a）；
（2）若对任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=|sinx|．
（1）若g（x）=ax-f（x）≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个公共点，且公共点的横坐标的最大值为α，求证：．