2011-2012学年湖南省张家界一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设向量满足，，则=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．5

2. 难度：中等

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f′（x）≥0，则必有（ ）
A．f（0）+f（2）＜2f（1）
B．f（0）+f（2）≤2f（1）
C．f（0）+f（2）≥2f（1）
D．f（0）+f（2）＞2f（1）

3. 难度：中等

若k∈R，则“k＞3”是“方程-=1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

，则A∩B=（ ）
A．（-∞，1]
B．[-1，1]
C．∅
D．{1}

5. 难度：中等

已知两点A（1，2），B（3，1）到直线L距离分别是，，则满足条件的直线L共有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

6. 难度：中等

若D′是平面α外一点，则下列命题正确的是（ ）
A．过D′只能作一条直线与平面α相交
B．过D′可作无数条直线与平面α垂直
C．过D′只能作一条直线与平面α平行
D．过D′可作无数条直线与平面α平行

7. 难度：中等

如图所示的阴影部分由方格之上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形（每次旋转90仍为L形的图案），那么在4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数是（ ）

A．16
B．32
C．48
D．64

8. 难度：中等

下列值等于1的积分是（ ）
A．xd
B．（x+1）d
C．1d
D．d

二、填空题

9. 难度：中等

已知复数z=（2m²+3m-2）+（m²+m-2）i，（m∈R）为纯虚数，则m=    ．

10. 难度：中等

函的定义域为    ．

11. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第    项．

12. 难度：中等

在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，则在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率为    ．

13. 难度：中等

三个同学对问题“关于x的不等式x²+25+|x³-5x²|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已在点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，∠ACB的平分线分别交AB、AE于点D、F，则∠ADF=    ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，曲线ρ=2cosθ所表示图形的面积为    ．

16. 难度：中等

（陕西卷理15A）不等式|x+3|-|x-2|≥3的解集为   

三、解答题

17. 难度：中等

设直线l₁的方向向量是：，直线l₂的方向向量为，β∈（π，2π），直线l₃的方向得量是，l₁与l₃的夹角为θ₁，l₂到l₃的角为θ₂，若，试求的值．

18. 难度：中等

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的数学期望．

19. 难度：中等

已知：四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，且
PA=2，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求二面角F-AE-C的大小．

20. 难度：中等

已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计，如图甲、图乙．图甲的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周l₁=AB+BC 图乙的过水断面为等腰梯形ABCD，AB=CD，AD∥BC，∠BAD=60°，过水湿周l₂=AB+BC+CD，若△ABC与梯形ABCD的面积都是S．

（1）分别求l₁和l₂的最小值；
（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．

21. 难度：中等

对定义域是D_f．D_g的函数y=f（x）．y=g（x），
规定：函数h（x）=．
（1）若函数f（x）=，g（x）=x²，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

22. 难度：中等

已知f（x）在（-1，1）上有定义，且满足x，y∈（-1，1）时，有
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）数列{a_n}满足，，x_n=f（a_n），求{x_n}的通项公式．
（3）求证：．