2011-2012学年四川省南充高中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M是函数y=lg（1-x）的定义域，集合N={y|y=e^x，x∈R}（e为自然对数的底数），则M∩N=（ ）
A．{x|x＜1}
B．{x|x＞1}
C．{x|0＜x＜1}
D．φ

2. 难度：中等

某校有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为（ ）
A．50
B．100
C．150
D．20

3. 难度：中等

等比数列{a_n}中，，S_n是数列{a_n}前n项的和，则S_n为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（ ）
A．
B．
C．
D．4

5. 难度：中等

函数（-1≤x＜0）的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设命题P：m≥，命题q：一元二次方程x²+x+m=0有实数解．则-p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

5个人站成一排，若甲乙两人之间恰有1人，则不同站法有（ ）
A．18种
B．24种
C．36种
D．48种

8. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为（ ）
A．8
B．13
C．14
D．10

9. 难度：中等

抛物线y=x²上的点到直线2x-y-10=0的最小距离为（ ）
A．
B．0
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数f （x+1）是奇函数，f （x-1）是偶函数，且f （0）=2，则f （2012）=（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．3

11. 难度：中等

在椭圆上有一点M，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f'（x）在R上恒有f'（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（ ）
A．（1，+∞）
B．（-∞，-1）
C．（-1，1）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

若f（x）是R上的奇函数，则函数y=f（x+1）-2的图象必过定点    ．

14. 难度：中等

已知二项式的展开式中第4项为常数项，则n=    ．

15. 难度：中等

在空间中，若射线OA、OB、OC两两所成角都为，则直线OA与平面OBC所成角的大小为    ．

16. 难度：中等

给出下列四个命题：
①函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；
②函数y=2^-x的反函数是y=-log₂x；
③若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，则a≤-4或a≥0；
④若函数y=f（x-1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
其中所有正确命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设函数f （x）=2cosx （cosx+sinx）-1，x∈R．
（1）求f （x）的最小正周期T及单调递增区间；
（2）在△ABC中，C=90°，求f （A）的取值范围．

18. 难度：中等

某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过，且他直到第二次考核才合格的概率为．
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率P₁；
（2）求小李参加考核的次数ξ的数学期望．

19. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．
（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
（3）求点B到平面PDE的距离．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x²+|x-a|（x∈R，a∈R）．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）＜10对x∈（-1，3）恒成立，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知F₂（-2，0），F₂（2，0），点P满足||PF₁|-|PF₂||=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若过点F₂的直线l交轨迹E于P、Q两不同点．设点M（-1，0），问：当直线l绕点F₂转动的时候，是否都有•=0？请说明理由．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x³-mx²+（m²-4）x，x∈R．
（1）当m=3时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）已知关于x的方程f（x）=0有三个互不相等的实根0，α，β（α＜β），求实数m的取值范围；
（3）在（2）条件下，若对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥-恒成立，求实数m的取值范围．