2011-2012学年新疆乌鲁木齐八中高三（上）第四次月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．i
B．-i
C．
D．

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₃+a₅+2a₁₀=4，则此数列的前13项的和等于（ ）
A．13
B．26
C．8
D．162

3. 难度：中等

已知函数=（ ）
A．13
B．
C．
D．

4. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x＜0”
B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件
C．已知线性回归方程是，当变量x的值为5时，其预报值为13
D．若a，b∈[0，2]，则不等式成立的概率是

5. 难度：中等

若，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

当点（x，y）在函数y=-x+上移动时，z=3^x+27^y+1的最小值是（ ）
A．3
B．7
C．1+2
D．6

7. 难度：中等

设，则的值等于（ ）
A．-1
B．1
C．-cos1
D．1-cos1

8. 难度：中等

已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

已知a是函数的零点，若0＜x＜a，则f（x）的值满足（ ）
A．f（x）=0
B．f（x）＞0
C．f（x）＜0
D．f（x）的符号不确定

10. 难度：中等

设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x），则=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

11. 难度：中等

已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填的是（ ）

A．2
B．3
C．4
D．16

12. 难度：中等

抛物线C₁：y²=4x和圆C₂：（x-1）²+y²=1，直线l经过C₁的焦点F，依次交C₁，C₂于A，B，C，D四点，则的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4

13. 难度：中等

如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

14. 难度：中等

x（x-）⁷的展开式中，x⁴的系数是    （用数字作答）

15. 难度：中等

若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则C_UA=    ．

16. 难度：中等

已知向量，且，则的值是    ．

17. 难度：中等

某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为    ．

18. 难度：中等

已知某组合体的正视图与侧视图相同（共中AB=AC，四边形BCDE为矩形），则该组合体的俯视图可以是    ．（把你认为正确的图的序号都填上）

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求y的最大值．

20. 难度：中等

如图，正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE．
（I）求证：AB⊥平面ADE；
（II）（理）在线段BE上存在点M，使得直线AM与平面EAD所成角的正弦值为，试确定点M的位置．
（文）若AD=2，求四棱锥E-ABCD的体积．

21. 难度：中等

为了调查某中学高三学生的身高情况，在该中学高三学生中随机抽取了40名同学作为样本，测得他们的身高后，画出频率分布直方图如下：
（I）求身高在180～190cm之间的人数．
（II）从身高在180cm（含180cm）以上的样本中随机抽取2人，
（理）记身高在185～190cm之间的人数为X，求X的分布列和数学期望．
（文）求至少有一人身高在185～190cm之间的概率．

22. 难度：中等

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F₁作倾斜角为60° 的直线l交椭圆于A，B两点，ABF₂的内切圆的半径为c
（I）求椭圆的离心率；   
（II）若|AB|=8，求椭圆的标准方程．

23. 难度：中等

已知a∈R，函数，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

24. 难度：中等

如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AC的中点，BD交AC于E． 
（I）求证：CD²=DE•DB．   
（II）若CD=2O到AC的距离为1，求⊙O的半径．

25. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（0，2），直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．

26. 难度：中等

设函数f（x）=|x+1|+|2x-1|
（I）画出函数y=f（x）的图象；
（II）若对任意x∈（-∞，0]，f（x）≤ax+b恒成立，求a-b的最大值．

27. 难度：中等

已知函数f（x）=，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．