2011-2012学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＞3}，B={x|2＜x＜4}，那么集合（∁_RA）∩B等于（ ）
A．{x|x≤3}
B．{x|2＜x≤3}
C．{x|3＜x＜4}
D．{x|x＜4}

2. 难度：中等

复数（i为虚数单位）等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

“cosα=”是“cos2α=-”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x=0.1，则输出m的值是（ ）

A．0
B．0.1
C．1
D．-1

5. 难度：中等

将函数f （x）=sin2x （x∈R）的图象向右平移个单位，则所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是（ ）
A．（-，0）
B．（0，）
C．（，）
D．（，π）

6. 难度：中等

已知=1，=2，与的夹角为120°，++=0，则与的夹角为（ ）
A．150°
B．90°
C．60°
D．30°

7. 难度：中等

已知g（x）为三次函数 f（x）=x³+ax²+cx的导函数，则它们的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

直线y=-x与椭圆C：=1（a＞b＞0）交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（ ）
A．
B．
C．-1
D．4-2

10. 难度：中等

设Q为有理数集，函数g（x）=，则函数h（x）=f （x）•g（x）（ ）
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是偶函数也不是奇函数

二、填空题

11. 难度：中等

计算的值等于    ．

12. 难度：中等

在（1+）²-（1+）⁴的展开式中，x的系数等于    ．（用数字作答）

13. 难度：中等

在圆x²+y²=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+|y|≤2的概率为    ．

14. 难度：中等

“无字证明”（proofs without words），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：    ．

15. 难度：中等

如图的倒三角形数阵满足：（1）第1行的n个数分别是1，3，5，…，2n-1；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有n行．问：当n=2012时，第32行的第17个数是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+l=a_n+cn （n∈N*，常数c≠0），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（I）求c的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

17. 难度：中等

某学院为了调查本校学生2011年9月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得数据分成以下六组：[O，5]，（5，1O]，…，（25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
（I）根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；
（Ⅱ）现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及其数学期望E（Y）．

18. 难度：中等

如图，在△ABC中，已知B=，AC=4，D为BC边上一点．
（I）若AD=2，S_△DAC=2，求DC的长；
（Ⅱ）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．

19. 难度：中等

某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
（I）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x²-600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（ I）若函数φ（x）=f（x）-，求函数φ（x）的单调区间；
（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点A（x，f （x））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x，使得直线l与曲线y=g（x）相切．