2011-2012学年黑龙江省绥化九中高二（上）能力提高数学试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设是右焦点为F的椭圆上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是“x₁+x₂=8”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既非充分也非必要

2. 难度：中等

设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x²+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．5
C．
D．

3. 难度：中等

已知变量的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．1

4. 难度：中等

假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为（ ）
A．10
B．15
C．21
D．30

5. 难度：中等

如图，将45°的直角三角板ADC和30°的直角三角板ABC拼在一起组成平面四边形ABCD，其中45°的直角三角板的斜边AC与30°的直角三角板的30°所对的直角边重合，若，则x，y分别等于（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知f（x）是定义在（-3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）•cosx＜0的解集为（ ）

A．（-3，-）∪（0，1）∪（，3）
B．（-，-1）∪（0，1）∪（，3）
C．（-3，-1）∪（0，1）∪（1，3）
D．（-3，-）∪（0，1）∪（1，3）

7. 难度：中等

设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.2]=-2，[1.2]=1，[1]=1，若f（x）=kx+k（k＞0）有三个不同的根，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知O是坐标原点，点A（-1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是（ ）
A．[-1，0]
B．[0，1]
C．[0，2]
D．[-1，2]

9. 难度：中等

椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，]
B．（0，]
C．[，1）
D．[，1）

10. 难度：中等

已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

点P在椭圆7x²+4y²=28上，则点P到直线3x-2y-16=0的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若抛物线y=ax²-1上总存在两点关于直线x+y=0对称，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若，，是平面α内的三点，设平面α的法向量，则x：y：z=    ．

14. 难度：中等

已知P是抛物线y²=2x上的一个动点，过点P作圆（x-3）²+y²=1的切线，切点分别为M，N，则|MN|的最小值是    ．

15. 难度：中等

已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2n=2a_n
（1）证明：数列{a_n+2}是等比数列．并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），设T_n是数列的前n项和．求证：．

17. 难度：中等

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，[40，50），[50，60），…[90，100]后画出如下图的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的合格率（60分及60分以上为合格）；
（3）把90分以上（包括90分）视为成绩优秀，那么从成绩是60分以上（包括60分）的学生中选一人，求此人成绩优秀的概率．

18. 难度：中等

已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边．
①若△ABC面积为，c=2，A=60°，求b，a的值．
②若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状，证明你的结论．

19. 难度：中等

如图，△ABC是以∠ABC为直角三角形，SA⊥平面ABCD，SA=BC=2，AB=4．M、N、D分别是SC、AB、BC的中点．
（1）求证：MN⊥AB；
（2）（文科）求二面角S-ND-A的余弦值；
（3）（理科）求点A到平面SND的距离．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y²=4x于A、B两点，
（1）求证：OA⊥OB；
（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值．