2011-2012学年江西省赣州市南康中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
A．角度和它的正切值
B．人的右手一柞长和身高
C．正方体的棱长和表面积
D．真空中自由落体运动物体的下落距离和下落时间

2. 难度：中等

如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则在这几场比赛得分中甲的中位数与乙的众数之和是（ ）

A．50
B．41
C．51
D．61.5

3. 难度：中等

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB₁D₁
B．AC₁⊥BD
C．AC₁⊥平面CB₁D₁
D．异面直线AD与CB₁所成的角为60°

4. 难度：中等

已知一组数x₁，x₂，x₃，x₄的平均数是，方差s²=2，则数据2x₁+1，2x₂+1，2x₃+1，2x₄+1的平均数和方差分别是（ ）
A．3，4
B．3，8
C．2，4
D．2，8

5. 难度：中等

若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（ ）
A．-
B．
C．-2
D．2

6. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

7. 难度：中等

执行如图的程序框图，输出的结果y的值为（ ）

A．5
B．8
C．13
D．21

8. 难度：中等

已知，P为抛物线x²=4y上的动点，若P到抛物线的准线y=-1的距离为d，记抛物线的焦点为F（0，1），则d+|PQ|的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

对于每个正整数n，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴交于A_n，B_n两点，以|A_nB_n|表示A_n，B_n两点间的距离，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₃B₂₀₁₃|的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

将一条线段任意分成三段，这三段能构成三角形三边的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．1

二、填空题

11. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，面对角线AB₁与对角面AA₁C₁C所成的角    ．

12. 难度：中等

已知半径为R的球的体积公式为，若在半径为R的球O内任取一点P，则点P到球心O的距离不大于的概率为    ．

13. 难度：中等

将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起成直二面角A-BD-C，则在这个直二面角A-BD-C中点A到直线BC的距离是    ．

14. 难度：中等

棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为    ．

15. 难度：中等

给出下列命题：
①若椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|＞6，则动点P不一定在该椭圆外部；
②以抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为圆心，以为半径的圆与该抛物线必有3个不同的公共点；
③双曲线与椭圆有相同的焦点；
④抛物线y²=4x上动点P到其焦点的距离的最小值≥1．
其中真命题的序号为    ．（写出所有真命题的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题P：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：关于实数t的不等式t²-（a+3）t+（a+2）＜0
（1）若命题P为真，求实数t的取值范围；
（2）若命题P是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，且过点（4，3）．
（1）求双曲线C的标准方程和焦点坐标；
（2）已知点P在双曲线C上，且∠F₁PF₂=90°，求点P到x轴的距离．

18. 难度：中等

如图，简单组合体底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）若，求平面PBE与平面ABCD夹角的余弦值．

19. 难度：中等

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．

20. 难度：中等

某厂生产篮球、足球、排球，三类球均有A、B两种型号，该厂某天的产量如下表（单位：个）：

	篮球	足球	排球
A型	120	100	x
B型	180	200	300

在这天生产的6种不同类型的球中，按分层抽样的方法抽取20个作为样本，其中篮球有6个．
（1）求x的值；
（2）在所抽取6个篮球样本中，经检测它们的得分如下：
4    9.2    8.7    9.3    9.0    8.4
把这6个篮球的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.3的概率；
（3）在所抽取的足球样本中，从中任取2个，求至少有1个为A型足球的概率．

21. 难度：中等

如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点；已知顶点B到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：椭圆C上任意一点M（x，y）到右焦点F₂的距离的最小值为1．
（3）作AB的平行线交椭圆C于P、Q两点，求弦长|PQ|的最大值，并求|PQ|取最大值时△F₁PQ的面积．