2011-2012学年江苏省南通市通州区高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

三条直线两两平行，则此三条直线可确定    个平面．

2. 难度：中等

若方程x²+y²-x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围为    ．

3. 难度：中等

已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有    条．

4. 难度：中等

已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．
其中正确命题的序号是    ．

5. 难度：中等

空间直角坐标系中，点A（2，5，6），点P在y轴上，PA=7，则点P的坐标为    ．

6. 难度：中等

已知圆C₁：x²+y²-6x-6=0，圆C₂：x²+y²-4y-6=0则两圆的位置关系为    ．

7. 难度：中等

如图所示，梯形A₁B₁C₁D₁是一平面图形ABCD的直观图．若A₁D₁∥O₁y，A₁B₁∥C₁D₁，，A₁D₁=O'D₁=1．则原图形的面积为    ．

8. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=a，E、F分别是BC、DC的中点，则AD₁与EF所成的角的大小为    ．

二、解答题

9. 难度：中等

求与圆x²+y²-2x+4y+1=0同心，且与直线2x-y+1=0相切的圆的方程．

三、填空题

10. 难度：中等

过两点A（m²+2，m²-3），B（3-m²-m，2m）的直线l的倾斜角为45°，则实数m的值为    ．

11. 难度：中等

设圆x²+y²-4x-5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是    

四、解答题

12. 难度：中等

一直线被两直线L₁：4x+y+6=0，L₂：3x-5y-6=0截得线段中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．

13. 难度：中等

已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）²+y²=4上运动，求线段AB的中点轨迹方程．

五、填空题

14. 难度：中等

一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f（P），那么d的最大值是    ．

六、解答题

15. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）A₁C⊥面AB₁D₁．

16. 难度：中等

在学校的东南方有一块如图所示的地，其中两面是不能动的围墙，在边界OAB内是不能动的一些体育设施．现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=．
（Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

18. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+y²=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；
（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．

19. 难度：中等

已知圆C：x²+（y-2）²=1
（1）求与圆C相切且在坐标轴上截距相等的直线方程；
（2）和圆C外切且和直线y=1相切的动圆圆心轨迹方程．

20. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．