2009-2010学年重庆市南开中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x-y=-2}，那么集合M∩N为（ ）
A．x=0，y=2
B．（0，2）
C．{0，2}
D．{（0，2）}

2. 难度：中等

△ABC中，∠A为锐角是的（ ）
A．充分非必要条件
B．既非充分又非必要条件
C．充分必要条件
D．必要非充分条件

3. 难度：中等

已知直线ax+y+5=0（a＞0），则其倾斜角α为（ ）
A．arctanα
B．arctan（-α）
C．π-arctanα
D．π-arctan（-α）

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为2，且a₁，a₂，a₅成等比数列，则a₅的值为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6

5. 难度：中等

已知sinαcosα=，且＜α＜，则cosα-sinα的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知a＞0，b＞0且2a+b=3，则的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．2
D．

7. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2） 当x∈[1，3]时，f（x）=2-|x-2|，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．f（sin）＜f（cos）
B．f（sin1）＜f（cos1）
C．f（cos）＜f（sin）
D．f（cos2）＜f（sin2）

8. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f=af（b）+bf（a），若f（2）=2，则的值为（ ）
A．-1
B．-
C．-
D．

9. 难度：中等

设，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，则a的取值范围是（ ）
A．
B．[4，+∞）
C．
D．

10. 难度：中等

设b≥a＞0，实数x、y满足，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

直线（m-1）x+3y+m=0与直线x+（m+1）y+2=0平行，则实数m=    ．

12. 难度：中等

三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则C的值为    ．

13. 难度：中等

已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为60°，则|-|=    ．

14. 难度：中等

已知关于x的方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的两根为x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

给出下列四个命题：
①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则x＞1；
②若p=a+（a＞2），q=（x∈R），则p＞q，
③已知=||=2，与的夹角为，则+在上的投影为3；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=处取得最小值，则f（-x）=-f（x）．
其中正确命题的序号是    ．（把你认为正确的命题的序号都填上）

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数的定义域为集合A，
（1）求A；
（2）若C：{x|x²-（2a+1）x+a（a+1）＜0}，C∩A=∅，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知直线l₁：（1+λ）x+y+2λ+1=0（λ∈R），直线l₂过点A（-3，2），B（-1，3）．
（1）若l₁⊥l₂，求直线l₁的方程；
（2）若直线l₁和线段AB有交点，求λ的取值范围．

18. 难度：中等

已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求正数ω的值；
（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，△ABC的面积为，求a的值．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，na_n=S_n+2n（n-1），n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）是否存在正整数n使得？若存在，求出n值；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数且a≠0）满足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=1-2f（x）（x＞1）的反函数为g^-1（x），若g^-1（2^2x）＞m（3-2^x）对x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

[x]表示不超过x的最大整数，正项数列{a_n}满足a₁=1，．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求证：；
（3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：当n＞2时，有．