2011-2012学年江西省宜春市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数的定义域是（ ）
A．[1，2]
B．（-∞，1]∪[2，+∞）
C．（1，2）
D．（-∞，1）∪（2，+∞）

2. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₆+a₁₀=16，a₄=1，则a₁₂的值是（ ）
A．15
B．30
C．31
D．64

3. 难度：中等

对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（ ）
A．若a＞b，c≠0则ac＞bc
B．若a＞b＞o，c＞d则ac＞bd
C．若a＞b，则
D．若ac²＞bc²则a＞b

4. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acosB=bcosA，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形

5. 难度：中等

已知b＞0，直线（b²+1）x+ay+2=O与直线x-b²y-1=O互相垂直，则ab的最小值等于（ ）
A．1
B．2
C．
D．

6. 难度：中等

已知F₁，F₂是双曲线C：x²-y²=1的左、右焦点，点P是双曲线上一点，且∠F₁PF₂=60°，则=（ ）
A．4
B．2
C．8
D．6

7. 难度：中等

已知a₁，a₂，a₃，a₄，是非零实数，则“a₁a₄₌a₂a₃”是“a₁，a₂，a₃，a₄，成等比数列”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分又不必要条件

8. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为CD和A₁D₁的中点，那么异面直线AM与BN 所成的角是（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

9. 难度：中等

有下列四个命题：
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x²+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“存在α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ成立”的否定．
其中真命题为（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④

10. 难度：中等

已知点P是线段AB上的动点（不包括两端点），点O是线段AB所在直线外一点，若=x+2y（x，y∈R），则的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．16

二、填空题

11. 难度：中等

若不等式|ax+2|＜6的解是（-1，2）；则实数a=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠A=120°，c=3，面积S=，则a=    ．

13. 难度：中等

若实数x、y满足不等式组，则的取值范围是    ．

14. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO=120°（O为坐标原点），AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是    ．

15. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，，其中λ∈R，n=1，2，…．给出下列命题：
①∃λ∈R，对于任意i∈N^*，a_i＞0；
②∃λ∈R，对于任意i≥2（i∈N^*），a_ia_i+1＜0；
③∃λ∈R，m∈N^*，当i＞m（i∈N^*）时总有a_i＜0．
其中正确的命题是    ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

记函数f（x）=的定义域为A，g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]（a＜1）的定义域为B．
（1）求A；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA=
（1）求角A的值；
（2）若a=，求△ABC面积的最大值．

18. 难度：中等

某公司今年年初支出100万元购买一种新的设备，而且公司每年需要支出设备的维修费和工人工资等各种费用，第一年4万元，第二年6万元，以后每年均比上一年增加2万元．除去各种费用后，预计公司每年纯收益为28万元．问：
（1）引进这种设备后，从第几年起该公司开始获利？（即：总收益大于各种支出）
（2）这种设备使用多少年，该公司的年平均收益最大？

19. 难度：中等

（文科做）已知数列{a_n}满足递推式：a_n-a_n-1=2n-1，（n≥2，n∈N）且a₁=1．
（1）求a₂，a₃；        
（2）求a_n；       
（3）若b_n=（-1）ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项之和T_n．

20. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=AA₁=2，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角B-C₁D-C的正切值；
（3）设AB₁的中点为G，问：在矩形BCC₁B₁内是否存在点H，使得GH⊥平面BDC₁．若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F₁、F₂，点，点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．