2003-2004学年广东省华南师大附中高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

方程x²+y²-x+y+m=0表示一个圆，则（ ）
A．m≤2
B．m＜2
C．
D．

2. 难度：中等

已知点M（4，2）与N（2，4）关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A．x+y+6=0
B．x+y-6=0
C．x+y=0
D．x-y=0

3. 难度：中等

下列叙述中正确的是（ ）
A．点斜式y-y₁=k（x-x₁）适用于过点（x₁，y₁）且不垂直x轴的任何直线
B．表示过点P₁（x₁，y₁）且斜率为k的直线方程
C．斜截式y=kx+b适用于不平行x轴且不垂直于x轴的任何直线
D．直线y=kx+b与y轴交于一点B（0，b），其中截距b=|OB|

4. 难度：中等

直线l：2x-y-4=0绕它与x轴的交点逆时针旋转，所得到的直线方程是（ ）
A．3x-y-6=0
B．x+3y-2=0
C．3x+y-6=0
D．x+y-2=0

5. 难度：中等

若直线mx+ny+p=0通过第一、二、三象限，则（ ）
A．mn＞0，np＞0
B．mn＜0，np＜0
C．mn＞0，np＜0
D．mn＜0，np＞0

6. 难度：中等

设点P（x，y）到直线3x-4y-1=0的距离为2，则x与y应满足的关系（ ）
A．3x-4y-11=0
B．3x-4y+11=0
C．3x-4y+9=0或-3x+4y+11=0
D．3x-4y+11=0或3x-4y+9=0

7. 难度：中等

不等式（x²-4x-5）（x²+1）＜0的解集是（ ）
A．{x|-1＜x＜5}
B．{x|x＜-1或x＞5}
C．{x|0＜x＜5}
D．{x|-1＜x＜0}

8. 难度：中等

设-b＜a＜0，有下列不等式：（1）；（2）a²＞b²；（3）；（4）|a|＞|b|，其中正确的不等式的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（ ）
A．y=
B．y=|x|
C．y²=x²
D．x²+y²=0

10. 难度：中等

函数的最小值是（ ）
A．
B．
C．3
D．4

11. 难度：中等

直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围是（ ）
A．[，）∪（，]
B．[0，]∪[，π）
C．[0，]
D．[，]

12. 难度：中等

已知A（3，3）、B（-1，5）直线l：y=1-ax与线段AB有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

圆x²+y²+8x-10y+41=r²与x轴相切，则此圆截y轴所得的弦长为    ．

14. 难度：中等

不等式的解集是    ．

15. 难度：中等

直线l₁：mx+（m-1）y+5=0与l₂：（m+2）x+my-1=0互相垂直，则m的值是    ．

16. 难度：中等

已知x+y-3=0，则的最小值等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

求过点P（-5，-4）且满足下列条件的直线方程：
（1）和直线x-3y+4=0垂直；
（2）倾斜角等于直线x-3y+4=0的倾斜角的二倍．

18. 难度：中等

解不等式：．

19. 难度：中等

某厂制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，为了给每台装置装配一个外壳，要从两种不同规格的薄钢板上截取．已知甲种薄钢板每张面积为2m²，可做A种外壳3个和B种外壳5个；乙种薄钢板每张面积为3m²，可做A种和B种外壳各6个，用这两种薄钢板各多少张，才能使总的用料面积最小？（请根据题意，在下面的横线处按要求填上恰当的关系式或数值）
【解析】
设用甲、乙两种薄钢板各x张，y张，
则可做A种外壳______个，B种外壳______个，所用钢板的总面积为z=______（m²）依题得线性约束条件为：______

20. 难度：中等

已知：a，b∈R⁺，a+b=1，求证：ax²+by²≥（ax+by）²．

21. 难度：中等

设m是常数，集合
（1）证明：当m∈M时，f（x）对所有的实数x都有意义；
（2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值；
（3）求证：对每个m∈M，函数f（x）的最小值都不于1．

22. 难度：中等

设圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线l交两坐标轴于A（a，0），B（0，b），（ab≠0）．
（1）求a，b应满足的条件；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）若a＞2，b＞2，求△AOB面积的最小值．