2010-2011学年福建省厦门一中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

用数学归纳法证明1+2+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1），在验证n=1成立时，左边所得的代数式是（ ）
A．1
B．1+2
C．1+2+3
D．1+2+3+4

2. 难度：中等

在等差数列{a_n} 中，如果a₁₀=0，则有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19-n（n＜19）成立，类比这一性质，在等比数列{b_n}中，如果b₆=1，则有b₁•b₂•…•b_n=（ ）
A．b₁•b₂•…•b_10-n（n＜10）
B．b₁•b₂•…•b_11-n（n＜11）
C．b₁•b₂•…•b_12-n（n＜12）
D．b₁•b₂•…•b_13-n（n＜13）

3. 难度：中等

函数 的图象与直线x=1，x=e （e是自然对数的底）及x轴围成的平面图形的面积等于（ ）
A．2
B．e
C．
D．1

4. 难度：中等

函数 的单调递增区间是（ ）
A．（1，+∞）
B．（-∞，0）
C．（-∞，1）
D．（0，+∞）

5. 难度：中等

设a，b，c∈（-∞，0），则a+，b+，c+（ ）
A．都不大于-2
B．都不小于-2
C．至少有一个不大于-2
D．至少有一个不小于-2

6. 难度：中等

已知函数f （x）=xcos2x，则 等于（ ）
A．1-
B．-
C．
D．1+

7. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x+2 在闭区间[0，3]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．20和2
B．20和-1
C．20和0
D．19和-1

8. 难度：中等

定积分=（ ）
A．
B．2
C．
D．

9. 难度：中等

函数f（x）=x²+ax+b 的图象与直线y=x-2 相切于点（1，-1）处，则f （x）的极小值等于（ ）
A．-2
B．
C．
D．1

10. 难度：中等

设复数z=iⁿ，当n取1，2，3…，得到z的不同的值组成一个数的集合A，从A中任取两个数相减，得到的差组成的集合为B，那么B中的虚数个数n与实数个数m的比值=（ ）
A．5
B．
C．
D．2

11. 难度：中等

如果复数 （a∈R）是纯虚数，那么=（ ）
A．
B．6
C．5
D．4

12. 难度：中等

函数f（x）=x³-ax 的递减区间是[-1，1]，则f（x）的图象在点x=2处的切线方程是（ ）
A．6x-y+4=0
B．9x-y-16=0
C．9x-y-12=0
D．12x-y-8=0

二、解答题

13. 难度：中等

设某银行的总存款额与银行付给存储户的年利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），若银行以9%的年利率将总存款的80%贷出，问：银行给存储户支付的年利率为多少时，银行才能获得最大利润？

14. 难度：中等

找一个最小的正整数m，使得当正整数n≥m时，2^n-1＞（n-1）² 恒成立，并用数学归纳法证明这个不等式．

15. 难度：中等

求函数在区间[-，3]上的极大值和最大值．

三、填空题

16. 难度：中等

如图所示，用4种不同的颜色分别为A、B、C、D、E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，那么符合这种要求的不同着色方法种数是    ．

17. 难度：中等

如图是函数f（x）=x³+bx²+cx+d 的大致图象，则    ．

18. 难度：中等

已知函数，则定积分=    ．

四、解答题

19. 难度：中等

如图所示，在1号管上套着大小不同（从大到小）的n个铁环，按下列规则：①每次移动一个铁环；②较大的铁环不能放在较小铁环的上面．将铁环全部套到3号管上，最少需要移动的次数设为a_n，猜想a_n 的表达式，并加以证明．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³-3x²+（c+3）x+c+8 在x=-2 时有极值1
（1）极值1是极大值还是极小值，说明理由，并求出f（x） 的另一个极值；
（2）过点A（0，10）作函数f （x）图象的切线l，求直线l与函数g（x）=f（x）+x³-x 的图象围成的平面图形的面积．

21. 难度：中等

设函数f（x）=ln（x+2），
（1）求函数y=f（x）-2x 的单调区间；   
（2）对任意正整数n比较 与 的大小，并加以证明；
（3）（实验班学生必答题 10分）如果不等式 在（-2，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围．