2010-2011学年江苏省无锡市江阴高级中学高三（上）开学学情调研数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∀x∈R，sinx≥-1”的否定是    ．

2. 难度：中等

设复数z满足z（2-3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为    ．

3. 难度：中等

设α是第三、四象限角，，则m的取值范围是    ．

4. 难度：中等

函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_k+1，k∈N*，a₁=16，则a₁+a₂+a₃=    ．

5. 难度：中等

在标有数字1，2，3…，10，11，12的12张大小相同的卡片中，依次取出不同的三张卡片它们的数字和恰好是3的倍数的概率是    ．

6. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²=4上有且仅有三个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的值是    ．

7. 难度：中等

若函数在（a，b+4）（b＜-2）上的值域为（2，+∞），则a^b=    ．

8. 难度：中等

等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，，AD是BC边上的高，P为AD的中点，点M、N分别为AB边和AC边上的点，且M、N关于直线AD对称，当时，=    ．

9. 难度：中等

设a＞0，b＞0，4a+b=ab，则在以（a，b）为圆心，a+b为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是     ．

10. 难度：中等

已知m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n； ②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
③若m∥α，n⊥α，则m⊥n； ④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．
其中假命题的序号有    ．（请将假命题的序号都填上）

11. 难度：中等

若不等式x²+2+|x³-2x|≥ax对x∈（0，4）恒成立，则实数a的取值范围是     ．

12. 难度：中等

已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为    ，则按图二作出的矩形面积的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=|x²+2x-1|，若a＜b＜-1，且f（a）=f（b），则ab+a+b的取值范围是    ．

14. 难度：中等

某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：
①函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；
②点是函数y=f（x）图象的一个对称中心；
③函数y=f（x）图象关于直线x=π对称；
④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立．
其中正确的结论是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．
（1）若α∈（-π，0），且||=||，求角α的大小；
（2）若⊥，求的值．

16. 难度：中等

设椭圆的左，右两个焦点分别为F₁，F₂，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且F₁PF₂Q为正方形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为，求此椭圆方程．

17. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（3）求证CE∥平面PAB．

18. 难度：中等

如图，两个工厂A，B相距2km，点O为AB的中点，现要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB⊥AB．据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数是1，办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数是4，办公楼受A，B两厂的“总噪音影响度”y是受A，B两厂“噪音影响度”的和，设AP为xkm．
（Ⅰ）求“总噪音影响度”y关于x的函数关系，并求出该函数的定义域；
（Ⅱ）当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2^|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+2m-8．
（Ⅰ）若m=2，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=2^|m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[4，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

对于数列a_n，（1）已知a_n是一个公差不为零的等差数列，a₅=6．
①当a₃=2时，若自然数n₁，n₂，…，n_t，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…是等比数列，试用t表示n_t；
②若存在自然数n₁，n₂，…，n_t，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…构成一个等比数列．求证：当a₃是整数时，a₃必为12的正约数．
（2）若数列a_n满足a_n+1a_n+3a_n+1+a_n+4=0，且a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项，求a₁的取值范围．