2009-2010学年湖南省常德市高三（上）质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x|（x+1）（x-3）≤0}，N={x|1＜x＜4}，则M∩N=（ ）
A．{x|-3≤x＜4}
B．{x|-1≤x≤4}
C．{x|1＜x≤3}
D．{x|3≤x＜4}

2. 难度：中等

已知=（2，-1），=（m，4），若，则m等于（ ）
A．2
B．-5
C．-8
D．-2

3. 难度：中等

y=（sinx-cosx）²-1是（ ）
A．最小正周期为2π的偶像函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数

4. 难度：中等

阅读如图的程序框图，则输出的S的值为（ ）

A．9
B．36
C．100
D．225

5. 难度：中等

已知数列{a_n}的前项的和S_n满足S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），则数列{a_n²}的前项的和为（ ）
A．4ⁿ-1
B．（4ⁿ-1）
C．（4ⁿ-1）
D．（2ⁿ-1）²

6. 难度：中等

若△ABC的三边之长分别为a、b、c，内切圆半径为r，则△ABC的面积为 ．根据类比思想可得：若四面体A-BCD的三个侧面与底面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，内切球的半径为r，则四面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为（ ）
A．12
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-bx+1（a、b∈R）在区间[-1，3]上是减函数，则a+b的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

若复数（1+i）²=a+bi（a、b为实数）则=b     ．

10. 难度：中等

某校有教师100人，男学生600人，女学生500人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽出一个容量为n的样本．已知从女生中抽取的人数为40人，则n=    ．

11. 难度：中等

已知（ax+）⁶的展开式中常数项为20，则a=    ．

12. 难度：中等

若直线x+y-a=0与圆（θ为参数）没有公共点，则a的取值范围是     ．

13. 难度：中等

已知正数m、n满足=1，则m+n的最小值为     ．

14. 难度：中等

设a∈[0，2]，b∈[0，4]，则函数f（x）=x²+2ax+b在R上有两个不同零点的概率为     ．

15. 难度：中等

定义区间[x₁，x₂]的长度为x₂-x₁，已知函数f（x）=3^|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，9]，则区间[a，b]的长度的最大值为    ，最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=60°，且=4，
（1）求△ABC的面积；
（2）若b=2，求a、c．

17. 难度：中等

某校高中篮球兴趣爱好者90人来进行投篮测试，现假定每人投6次，每次投中的概率均为，且每次投篮的结果都是相互独立的．
（1）求学生甲在次投篮中投中3次的概率；
（2）若某一学生在次投篮中至少投中5次就被认定为“优秀”，那么试估计这些篮球兴趣爱好者被认定为“优秀”的人数．

18. 难度：中等

已知菱形ABCD的两条对角线交于点O，且AC=8，BD=4，E、F分别是BC、CD的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC、
（1）求证EF⊥平面AOC；
（2）求AE与平面AOC所成角的正弦值；
（3）求点B到平面AEF的距离．

19. 难度：中等

某种商品的生产成本为50元/件，出厂价为60元/件．厂家为了鼓励销售商多订购，决定当一次性订购超过100件时，每多订购一件，所订购全部商品的出厂价就降低0.01元．根据市场调查，销售商一次订购不会超过600件．
（1）设销售商一次订购x件商品时的出厂价为f（x），请写出f（x）的表达式；
（2）当销售商一次订购多少件商品时，厂家获得的利润最大？最大利润是多少？

20. 难度：中等

已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F₂，且
与椭圆C交于A，B两点，使得|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差数列，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知x=0是函数f（x）=（x²+bx）e^x的一个极值点．
（1）求f（x）；
（2）若不等式f（x）＞ax³在[，2]内有解，求实数a的取值范围；
（3）函数y=f（x）在x=a_n（a_n＞0，n∈N^*）处的切线与x轴的交点为（a_n-a_n+1，0）．若a₁=1，b_n=+2，问是否存在等差数列{c_n}，使得b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+n²+2n+2对n∈N^*都成立？若存在求出{c_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．